用向量方法解决平行问题

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1、NO.1课堂强化第三章课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关考点一考点二3.2NO.2课下检测考点三解题高手第一课时第一课时　用向量方法解决平行问题[读教材·填要点]1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线的向量．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的，则a叫做平面α的法向量．平行或共线方向向量a3．空间中平行关系的向量表示线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔．线面平行设平面α外的直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，

2、b2，c2)，则l∥α⇔．面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔.a∥ba⊥uu∥v[小问题·大思维]1．直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？提示：直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量．2．若直线l的方向向量为u，平面α的一个法向量为v，且u⊥v，那么l与α平行吗？提示：不一定，也可能l在α内.[研一题][例1]根据下列条件，判断相应的线

3、、面位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)；(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)；(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)．[自主解答](1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)，∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2.(2)∵u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)，∴v＝－3u，∴v∥u，

4、即α∥β.(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)，∴a·u≠0且a≠ku(k∈R)，∴a与u既不共线也不垂直，即l与α相交但不垂直．(4)∵a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，∴a·u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，即l⊂α或l∥α.[悟一法]1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．[通一类]1．根据下列条件，判断相应的线线、线面、面面的位置

5、关系．(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，0，－1)，b＝(－3，0，3)；(2)直线l的方向向量为a＝(1，2，－1)，平面α的法向量是u＝(－2，1，0)；(3)两平面α，β的法向量分别为u＝(1，1，3)，v＝(1，2，0)．解：(1)∵b＝－3(1，0，－1)＝－3a，∴l1∥l2.(2)∵a·u＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥u，∴l⊂α或l∥α.(3)∵u·v＝1＋2＝3≠0，又u≠kv，∴u与v既不共线也不垂直，∴两平面相交但不垂直.[研一题]利用待定系数法求平面法向量的解题步骤：[悟一法][通一类][例3]已

6、知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[研一题][悟一法]1．用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．2．利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．[通一类]3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4

7、，M、N、E、F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面EFBD.证明：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N(2，，4)，E(0，，4)，F(1，3，4)．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M分别是BC、AE的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.试问在线段CD1上是否存在一点N使∥平面ADD1A1，若存在确定N的位置，若不存在说明理由．[巧思]可假设N存在，根据N在CD1上设出N的坐标，从而可求得向量的坐标，由MN∥平面AD

8、D1A1得垂直于该平面的法向量，建立等式，判断是否有解．点此进入点此进入