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1、线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一.填空题(每小题3分,共12分)1.设,,,,则=.解==.2.已知向量,,设,其中是的转置,则=.解注意到,故===.注若先写出,再求,…,将花比前更多的时间.3.若向量组,,线性相关,则=.解由,,线性相关,则有===.由此解得.4.若阶矩阵与相似,矩阵的特征值为,,,,则行列式=.解因为与相似,所以,有相似的特征值,从而有特征值,,,.故.208注本题解答中要用到以下结论:(1)若可逆,的特征值为,则的特征值为.(2)若是的特征值,则的特征值为,其中为任意关于的多项式.(3)若阶矩阵有个特征值,,…,,则.二.单项选择题(每小题3分,共18分
2、)1.矩阵在()时,其秩将被改变.()乘以奇异矩阵()乘以非奇异矩阵()进行初等行变换()转置2.要使,都是线性方程组的解,只要系数矩阵为().()()()()解我们知道,若,,…,是齐次线性方程组的个线性无关的解向量,的任一解为向量,,…,的线性组合,则,,…,为的基础解系,且所含解向量的数目,其中为矩阵的列数.由于,为的解,知.又因与是线性无关的,故.因而,而()、()、()、()四个选项中满足的矩阵只有()项中的.3.设向量组Ⅰ:,,…可由向量组Ⅱ:,,…线性表示,则().()当时,向量组Ⅱ必线性相关()当时,向量组Ⅱ必线性相关()当时,向量组Ⅰ必线性相关()当时,向量组Ⅰ必线性
3、相关解根据定理“若,,…可由,,…线性表出,并且,则,,…,必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关,故应选().4.设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是().208()若仅有零解,则有唯一解()若有非零解,则有无穷多解()若有无穷多个解,则仅有零解()若有无穷多个解,则有非零解解方程组与其对应的齐次线性方程组的解之间有密切的关系.正确作答本题要求掌握以下结论:(1)非齐次线性方程组有解的充要条件为方程组的增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩.(2)在非齐次线性方程组有解的条件下,解惟一的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解.(
4、3)非齐次线性方程组的任意两个解之差是齐次线性方程组=的解.由于题干及()、()项中均未指明有解,即的秩不一定等于增广矩阵的秩,故()、()两项为干扰项.由结论(3)知()为正确选项.5.若矩阵与相似,则().()()(),有相同的特征向量()与均与一个对角矩阵相似解由与相似,知存在可逆矩阵,使得.由此可得==.6.设矩阵的秩为,为阶单位矩阵,下述结论中正确的是().()的任意个列向量必线性无关()的任意阶子式不等于零()若矩阵满足,则()通过初等行变换,必可以化为的形式解应选().由于,表明矩阵的秩等于行数,即的行向量必线性无关.根据矩阵秩的性质:行向量的秩等于列向量的秩,因此的列向
5、量的秩等于.由于(列数),故一定存在个列向量线性无关,但并不是任意个列向量线性无关,故()不成立.根据矩阵秩的等价定义,表明至少存在一个阶子式不等于零,但并不要求任意一个阶子式均不等于零,故()不成立.()也是不成立的.若()成立,则存在个行变换,,,,使=,即A=,说明的后列均为零向量,显然题目未作这种要求.()为正确选项.设的个列向量为,,,,则,,,208线性无关,因此,方程组仅有零解.若,是维行向量满足,即,即故.三.(本题6分)设行列式,求第四行各元素余子式之和的值.解设()为第四行各元素余子式,对应代数余子式记为(=),则=====.四.(本题10分)设,且满足,求矩阵.解
6、由可得.矩阵.又,208故可逆,从而.下面用初等行变换法求.=.于是.因此.注因为,也可以不求而用初等行变换直接求出.方法如下:==.即.五.(本题12分)已知,为3阶矩阵,且满足,其中是3阶单位矩阵.(1)证明:矩阵可逆,并求其逆矩阵;(2)若,求矩阵.208解(1)由知,从而或,故可逆,且=.(2)由(1)知,而,故.注如果只要证明可逆,那么由得.因为可逆,知,故,由此证出可逆.六.(本题10分)设向量组,,,,(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个极大无关组,并把其余向量分别用此极大无关组线性表出.解=208.所以向量组的秩为3.,,为其一个极大无关组,且.七.(本题12分)问
7、,为何值时,线性方程组有惟一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.解对方程组的增广矩阵进行初等行变换:=.当时,,方程组有惟一解.当,时,,方程组无解.当,时,208,方程组有无穷多组解,这时,得同解方程组:令,由此得到一个特解为:.另外,原方程组的对应齐次线性方程组的同解方程组为:依次令,;,得到一个基础解系:,=.于是原方程组的通解为:.八.(本题15分)若矩阵相似于对角阵,试求常数的值,并求可逆矩阵使.解由矩阵的特征多项式=
