算法案例-多项式求值算法探究教学设计

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1、算法案例一多项式求值算法探究教学设计佛山市第一中学数学科组陈启智教学目标：1.了解中国古代算法2.理解秦九韶算法的原理3.掌握秦九韶算法求多项式的值的方法4.能画出秦九韶算法的流程图重点：秦九韶算法的思想难点：秦九韶算法的流程图，循环结构的运用设计思路：为计算机设计算法求具体一个多项式的值->改进算法一介绍秦九韶算法->秦九韶算法的流程图一小结教学过程：一.情境设置问题1：请大家为计算机设计一个算法，求多项式/(x)=x5+x4+x3+x2+x+l当%=5吋的值.一般学生容易想到以卜•的算法：/(5)=5*5*5*5*5+5*5*5*5+5

2、*5*5+5*5+5+1=3906提出问题：在上述算法中，共进行了多少次乘法运算？多少次加法运算？回答：10次乘法，5次加法。提问:诘问还有没有其它的算法？引导学生思考，引出秦九韶算法.二•讲授新课(%1)秦九韶算法初探1•新算法引入请大家看上面问题的另一种解法(若学生想到让学生口头回答，学生想不到则直接介绍)/(X)=((((%+l)x+)x+l)x+l)x+1求值时首先计算最内层扌舌号内一次多项式当%=5时的值，然后由内向外逐层计算英余一次多项式当兀=5的值。具体做法如下：%=1；V)=v0-5+l=lx5+l=6v7=Vj-54-1

3、=6x5+1=31v3=卩2'5+1=31x5+1=1565=D・5+l=156x5+1=781p5=v4-5+1=781x5+1=3906所以/⑸=3906引导学生思考：上而计算过程中做了多少次乘法?多少次加法？回答:5次乘法,5次加法，因此较第-•种算法减少了做乘法的次数，提高了运算效率.2.模仿练习学生练习1:求多项式f（x）=5x5+2x4+3.5?-2.6/+1.7兀-0.8当x=5时的值.（让学生参照询一题的算法，为学习秦九韶算法奠定基础.学牛口头回答算法，课件同步演示计算过程）（二）秦九韶算法的算理深入分析上面的算法称为秦九紹

4、算法（简单介绍秦九韶生平及成就,对学生进行爱国主义教育）.这个算法可以作一般性推广。设一个多项式为/（x）=anxn4-an_xxn~x+・・・+a“+do幷兀丿改写为/（%）=（…（匕兀+an_x）x+a”_2）兀+…+a】）兀+a。，计算多项式的值的时候先计算最内层的一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这种算法的核心思想就是反复利用内层的一次多项式的值求外层一次多项式的值，将一个n次多项式的求值问题转化为n个-•次二项式的的求值问题。具体做法如下：=勺兀+%一1v2=v1x+^,_2v3=v2x+^_3•••由此我们发现

5、，每个一次多项式的结构都是相同的，且计算U时候要利用叫T的值，所以能够得到如下递推公式：引导学生思考得出递归公式Jv°=①（vk=vk_[x+an_k（k=,2,--,n）（主要从式子的结构，如:项数，次数等方而引导）（三）秦九韶算法的流程图学生练习2:请同学们根据以上递推公式设计求多项式f（x）=a5^+674x4+a3x3+a2x2+坷兀+兔当x=兀。时.的值的算法的框图。该算法的流程图设计有一定难度，引导学牛•从以下方而思考：1.算法中存在反复操作的步骤，因此可以利用循环结构；1.循环结构的设计须要考虑的因素：初始条件,循坏体，循坏

6、进行（结束）条件，而这些因索都可以从递推关系屮关察得到.在以上的引导下放手让学生口己动手设计算法并画出框图.参考答案:结束吋间允许的情况下可以让学纶写出程序语句（课件同步演示）,若吋间不足可以布置学生课外硏究性学习:搜索BASIC语言相关知识，编写程序.学生练习3（备选）:求/（x）=2x4+2x3+5x2+4x2+5当x=3时的值三.小结1.秦九韶算法是一种通用的多项式求值算法；2.循环结构的运用（如何根据循环结构的特点将递推关系转化为循环结构）;3.算法设计的关键在于找出问题的一般规律，即寻找“共性“，然后根据此”共性”运用算法的三种逻

7、緝结构设计出算法.四.作业1.P35练习2求多项式/(%)=0.83++0.4lx4+0.16x3+0.33x2+0.5x+1当x=5时的值.2.P38A组2.用秦九韶算法求多项式/(x)=lx1+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当兀=3时的值并画出算法流程图.3.搜索中国古代数学成就.