球的内切和外接问题

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1、球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？.ra球与多面体的内切、外接如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为.1、求正方体的外接球的有关问题例1、若棱长为

2、3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.2、求长方体的外接球的有关问题例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的表面积为.变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.C二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面

3、相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个。一、球体的体积与表面积①②多面体的外接球多面体的内切球棱切：一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。图3图4图5中截面设棱长为1球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O例1甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()A.1:2:3B.C.D.球与棱柱的组合体问题ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径。.球内切于正方体的棱设棱长为1ABCDD1C1A1OB1对角面球的内接正方体的对角线等于球直径。球

4、外接于正方体设棱长为1ACBPO二、构造法1、构造正方体例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，则球O的体积等于图4ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径例5、求棱长为a的正四面体P–ABC的外接球的表面积。变式题：1、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.B.C.D.A2、在等腰梯形ABCD中，E为AB的中点，将分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）图3C2、构造长方体

5、已知点A、B、C、D在同一个球面上，，则B、C两点间的球面距离是.图5三、确定球心位置法在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为()Ｃ四、公式法一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为　，底面周长为３，则这个球的体积为解：设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径小结本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱

6、的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________．五、构造直角三角形例13、求棱长为1的正四面体外接球的体积．六、寻求轴截面圆半径法正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为O，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得又，∴球心O必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由是外接圆的半径，也是外接球的半径.故几何体的内切球正四面体的棱长为a，则其内切球和外接球的半径是多少？图1解：如图1所示，

7、设点o是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点o也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．正四面体的表面积正四面体的体积在中，即，得得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为(h为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心．(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”．(3)正四面体内切球半径是高的，外接球半径是高的.(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．球的旋转

8、定义：1.半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面。2.半圆面以它的直