解答排列组合应用题的策略-人教版[原创]

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1、解答排列组合应用题的策略湖南舒元生解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列（有序）还是组合（无序），还是排列与组合混合问题。其次，婆抓住问题的木质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥（不相容），②总类必须完备（不遗漏）；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组介问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类屮冇步，也可以是步屮冇类。以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，扌

2、乍（组）分

3、淸；合理分类,用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解,检验真伪。卞面对儿种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。一、特殊优先，一般在后对丁问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”0例10、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有儿个？解法一：（元素优先）分两类：第一类，含0,0在个位有&种，0在十位有种；第二类,不含0,有W种。故共有（W孙创:亠注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。解法二：（位置优先）分两类：第一类，0在个位有彳种；第二类，0

4、不在个位,先从两个偶数屮选一个放个位，再选一个放百位，戢后考虑十位，有44思种。故共有4?+4^=30练习1（89年全国）由数字1、2、3、4、5纽成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有—个（用数字作答）。答案：36二、排组混合，先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元索，再进行排列。例2（95年全国）4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的以个盒内，则恰冇一个空盒的放法有几种？解：由题意，必冇一个盒内冇2个球，同一•盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有劭卜144种放法。练习2由数字1,2,3,4,5,6,7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数

5、，数字不重复的有多少个？答案：有席二1440（个）三、元素相邻，整体处理对丁•某些元素耍求和邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元索进行排列，同时对相邻元素进行自排。例35个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有儿种排法？解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生H身也应全排列。由乘法原理共有"种。练习3I川对兄妹站一扌IF,每对兄妹都相邻的站法有多少种？答案：—二384四、元素间隔，分位插入对于某些元索要求有间隔的排列，用插入法。例45个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不町排两头，共有几种排法？解：先排无限制条件的男生，女生

6、插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有W种。注意：①必须分清“谁插入谁”的问题。耍先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。练习44男4女站成一行，男女相间的站法冇多少种?答案：2例5马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同吋关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法冇几种?解：由于问题屮有6盏亮3盏暗，又两端不町暗，故可在6盏亮的5个间隙屮插入3个暗的即可，有U种。练习5从1、2、…、10这十个数屮任选三个互不相邻的H然数，有几种不同的取法？答案：V。五、

7、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插对于某些元素的顺序固尢的排列问题，可先全排，再除以定序元索的全排，或先在总位置中选出定序元素的位逍而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元索。例65人参加白米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有儿种情况?解法一：先5人全排有選种，由于全排中有甲、乙的全排种数V,而这里只二60种。有1种是符合要求的，故要除以定序元素的全排4种，所以有&/4解法二先在5个位置中选2个位置放定序元索（甲、乙）有常种，再排列其它4,由乘法原理得共有c：遞60种。解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的笫一人有3种方法，接着插入第二人

8、有4种方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有3x4x5=6o练习6耍编制一张演出节H单，6个舞蹈节目已排定顺序，耍插入5个歌唱节目,则共有儿种插入方法?答案：忑或酩4?=<7u4f或7x8x9x10x11种六、“小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列问题屮的某些元素要求纽成“小团体”时，可先按制约条件“纽团”并视为一个元素再与其它元素排列。例7四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序耍求两名女歌手Z间有两名男歌手，