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1、角平分线方程解法探究•中学数学论文角平分线方程解法探究江苏省镇江第一中学刘银刘晓丽在学习〃直线与方程〃知识模块时z求三角形内角平分线所在直线方程历来是f知识难点,尤其对数据处理能力要求较高。穷则思变，基于这种情况,我们想办法多角度进行思考，尝试产生问题解决的多种方法，然后在若干方法中进行筛选，力求找到解决此类问题的简单方法以提升学生对问题的认识从而能够又快又好地解决问题。我们就以一道常见的角平分线求解问题为例尝试进行方法的探究。问题：在MBC中/B^A(3/3)/B(2/-2),C(-7/l)/zA的平分线交BC边于点D,求AD所在直线的方程。我们首先会想到直线AB与A
2、C关于直线AD对称，即直线AB上任意一点(除点A)关于直线AD的对称点必然在直线上。解法一：据题意，直线AD斜率存在，且为正数，设直线AD:y=k(x-3)+3z(k>0)设点B关于直线AD的对称点(mzn)已知直线AC方程：x-5y+12二0,则m-5n+12=0①有直线AD为线段BB'的中垂线。/.AD丄BB，即-^-^=-1……②ni-2又卫二M・芈2-3+3……3一乙Im=_2m=8得5=2或*4(舍)£=1k=—则AD方程为y二x延续上述解法的思路，换一下问题的切入点，可以肯定
3、AB
4、二
5、AB[,由此可以求出点B的坐标。解法二:据题意直线AC方程：x-5y+
6、12=0设点B关于直线AD的对称点B/(mzn)必然在直线AC上，则m-5n+12=0④又
7、AB
8、=
9、ABq则("-3)3(“-3尸=26"⑤得或;：(舍)则AD方程为y二x对于角平分线而言，可以肯定角平分线上任意一点到角的两边距离相等。解法三:设直线AD上任意一点P(x,y),则点P到直线AB的距离与点P到直线AC的距离相等。据题意:AB:5x-y-12=0;AC:x-5y+12=0贝[I
10、5x-y-12
11、二
12、%-5y+12
13、16_16~得y二x或x+y-6=0（舍）则AD方程为y二x从角平分线的走义岀发可以认识到从角上也可以作一些文章。解法四：据题意tanz
14、CAD=tanzBADz且直线AD的斜率是存在的。利用夹角公式ka旷kackATT"kar冰ac1得kAD=l或kAD二（舍）则AD方程为y二x继续硏究交会发现直线倾斜角会存在内在的关系。解法五:设直线AB倾斜角为cd,直线AC倾斜角为«2,直线AD倾斜角为a则a=a号a?则tanaj=5,tana2=-^-可以发现tana!=―-——=tanl耳--2itana2/即a（+a2=y・・g呻芬需22・・・紀戶1则AD方程为y二x角平分线具有向量的意义，若AP=A——一>
15、——>ABAC,则点P的轨迹即为乙BAC的平分线。解法六:设直线4£>±任意一点P(—y)►>贝11
16、4P=A;——►>ABAC即(-3,一堤•，一堤.x-3=y-3则AD方程为y二x三角形存在角平分线定理,我们尝试对其进行处理。解法L根据角平分线定理得且L4BI=26J4CI=226即DBDC,且点D在线段上.-.CD=2DB设D(m^n)则(m+7,n-l)=2(2-m,-2-n)得門n=-l则AD方程为y二x加重向量在问题解决中的作用，继续使用角平分定理。解法八:设直线上任意一点P(x,y)(xH3)彳II-10(%-3)-2(了一3)_?'-(％-3)-5(y-3)则y=x当点a与点P重合时满足上述方程。则AD方程为y二x上述提供的若干种解法并没有附加任何
17、特殊条件,因此均具备一般性。比对上述若干种解法，我们可以发现一旦深入发掘角平分2线所产生的〃副产品〃，并且借助向量的方法来解决问题,可以得到较为简单而合适的方法。
