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1、2002年4月郴州师范高等专科学校学报Apr.,2002第23卷第2期JournalofChenzhouTeachersCollegeVol.23No.2文章编号:1008-2042(2002)02-0019-04基本不等式变形的推广及应用郭莹(郴州市三中,湖南郴州423000)22摘要:给出基本不等式a+b2ab某一变形的推广及其应用.关键词:基本不等式;变形;推广;应用中图分类号:0175.5文献标识码:B222a基本不等式:a+b2ab.当b>0时,可变形为22a-b,当且仅当a=b时取等号.笔者发现,此b变形可推广,而且运用推广能巧妙地证明颇具难度的不等式.本文首先对此变
2、形进行推广,然后以举例的形式显示出了此结论的广泛应用.1推广n+a命题设a,bIR,nIN且n2,则n-1a-(n-1)b,当且仅当a=b时取等号.证明由bnnnnnn-1nn-1nn-1均值不等式有a+(n-1)b=a+b+,,bab即aab-(n-1)b,两边同除以b即(n-1)项可得知命题为真.此命题结构简单,内涵丰富,运用结论及等号成立时的充要条件对需证的不等式左边的各项进行变形,使其结构得以改变,从而使需证明的不等式化归为一个较简易的问题,并轻松得证.2应用例题1设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数,求证:3333abcd1+++(第31
3、届IMO预选题)b+c+dc+d+aa+b+da+b+c32证明设s=a+b+c+d由基本不等式可知:s4(ab+bc+cd+da),332asa即s4,^=2b+c+d12ss-a#43由命题可知3asss-asss-as107[3a-2(#)][3a-(+)]=(a-s).b+c+d1243124312312类似地收稿日期:2001-10-08作者简介:郭莹(1965-),女,湖南郴州人,郴州市三中中学一级教师.#19#33bs107cs107(b-s),(c-s),c+d+a12312a+b+c123123ds107(d-s).a+b+c12312四个不等式相加并整
4、理,得33332abcds107s1+++(s-s)=.b+c+dc+d+aa+b+ca+b+c12312123证毕P11例2已知A<0,B<,求证2+2229(79年全国高中数学竞赛题).2cosAsinA#sinB#cosB111证明不等式左边=2+22+22cosAsinA#sinBsinA#cosB111^2=3#2,由命题可知23(3-23cosA),cosA(3cosA)cosA11类似地223(3-23sinA#sinB),223(3-23sinA#cosB)sinA#sinBsinA#cosB三个不等式相加并整理得需证明的不等式左边3[9-23cosA-2
5、3sinA(sinB+cosB)].又^23cosA+23sinA(sinB+cosB)[23cosA+26sinA[6,_需证的不等式左边3(9-6)=9.证毕.例3已知实数a>1,b>1,c>1,求证:333abc92+2+23(5数学通报62000年11月问题1284题)b-1c-1a-123证明令A=3x,b=3y,c=3z其中x,y,z>,则只需要证3333333xyz3x1xx2+2+2成立.^2=2,由命题可知23y-13z-13x-123y-12123y-1(3y-1)2123x-2(3y-1).233y12z12类似地23y-2(3z-1),23z-2(3
6、x-1).3z-123x-12三个不等式相加并整理得333xyz12222+2+23x-2(3x-1)+3y-2(3y-1)+3z-2(3z-1)3y-13z-13x-1222+22又令k1=3x-2(3x-1),u=3x,v=-2(3x-1),则k1=u-v,其中u,vIR,且2u-3v=6,22222k1>0.将v=u-k1代入2u-3v=6中,得u-6k1u+3k1+6=0,,由k1 可知k11,_k133322xyz1,类似地k2=3y-2(3y-1)1,k3=3z-2(3z-1)1,_2+2+23y-13z-13x-13.证毕.2444+xyz1例4.若x,y,
7、zIR,且x+y+z=1,求证2+2+2.y(1-y)z(1-z)x(1-x)8(5数学通报61994年11月问题921题)44x1x证明^2=#23y(1-y)811y#(1+y)#(1-y)42#20#由命题知43x11124x-3y#(1+y)#(1-y)y(1-y)842111-4x-y-(1+y)-(1+y)842133=4x-y-84444y133z133类似地24y-z-,24z-x-.z(1-z)844x(1-x)84
