实数相关基础概念

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1、实数相关基础概念实数：把有理数和无理数统称实数。1.分类实数〈曲、无理数榕数分数这是按定义得到的最常用的分类。此外，还可以按止、零、负来分类。丿止实数实数冬负实数,正有理数有理数丫'零'，；；'负有理数可以对有理数和整数进行同样的分类，但是分数和无理数中没有零的分类。/正无理数无理数〈、负无理数以上分类中请注意各类的数有那些。比如，止实数由止有理数和止无理数构成。正有理数右正整数和正分数构成。2.自然数0,1,2,3,4,5,・・・这些数称为口然数，他们来源于生活中对物体的统计需要而口然产生，因此得名自然数。显然，两个自然数做和与积运算的结果依然是一个自然数。也就

2、是，如果a和b是口然数。那么a+b和axb,依然是口然数。但是，amb和a—b不一定是口然数。为了表达那些非口然数的运算结果，分别建立了分数，负整数的概念,并综合得到负分数的概念。这样我们就得到了一个完整的数的系统——有理数，在有理数屮们可以做加、减、乘、除的运算（四则运算），结果依然是有理数。当然，做除法的吋候，除数不能为零。似乎有理数足够使用了，但是在有关开方的运算中岀了例外。比如在等腰直角三角形中，直角边边长为1,斜边的边长是多少？类似这样的问题中，可以发现对一个有理数的平方根，不一定能用有理数表示。把这样的数，使用了根号表示，建立无理数的概念，近代我们乂得到，

3、圆周率也是一个无理数，用符号兀表示。事实上，关于8是什么样的数，还有更深刻的研究，高中并不涉及这方面的知识。有兴趣的同学可以查阅有关“超越数''的知识。1.整除当关于整数a、b的运算amb=c中，c是整数时，称为a被b整除。这个时候,也把b和c称为a的因数。当这些数是自然数时，因数也叫约数。比如:12^3=4,可以说12被3整除，3和4称是12的因数。显然，12的约数（正因数）有：1,2,3,4,6,12共6个。在大于1的口然数中，有一些数字比较特别。他们除了1和本身没有其他约数。比如7,只能被1和7整除。我们把这样的数称为质数。100以内的质数有25个，给出在下面供

4、大家参考。2357111317192329313741434753596167717379838997在大于1的自然数中，把不是质数的数字也称为合数。显然，所有的大于2的偶数都是合数，大部分奇数也是合数，相比而言，质数的个数要少很多，但是,质数依然有无数多个。一个显然的结论是，最小的质数为2,最小的合数为4。没有最大的质数和最大的合数。2也是所有质数中唯•的一个偶数，余下的质数都是奇数。判断一个数n是否是质数，有定义给出的一个方法，也就是依次用比n小的那么，n就是质数。数3、4、5、…去判断，若果所有的数都不能整除n,例：判断139是否是质数。解：13X3=46……1

5、13X4=34……313X5=27……4139^6=23……1139三7=196139^8=173139〜9=154139^10=13……9139^11=12……7从以上的计算，可以知道139是质数。我们并没有对所有小于139的数都做除法判断,这是因为当139ma=b成立的时候139-b=a也自然成立。对139来说，于大于11的除数a,如果整除，所得的结果b应该小于12,而我们已经验证了小于12的所有数字屮没有能整除的。3.分数与小数*（此结论不做掌握要求，有兴趣同学可自行思考）我们知道，无理数还仆一个描述，就是：无理数就是无限不循环小数。那么对应的，所有的分数都能表

6、示为有限小数或者无限不循环小树。这个结论请大家注意。换句话说，也就是，如果我们把整数看作，分母为1的分数，有理数总是能表示为…个分数的形式*。这里有两个有意思的问题：（1）什么样的分数能化成有限小数?（2）无限循环小数怎么化成分数？对第一个问题的研究我们先看一下分数：-O因为负分数和止分数对应的小m数，只相差一个符号，因此我们只需要对正分数做讨论，也就是m和n都是正整数，再进一步的，我们把仝看作nxl,如果丄为有限小数必须要求丄为有限小mmmm数。总之，我们只用研究分子为1的分数。研究得到的结论是，分母的约数，只能含有2或者5,这样的分数才可以化为有限小数。其他的都是

7、有限循环小数。其中-=0.142857的循环节142857被称为7神秘数字，7是一周的天数，木身也很受关注。第二个问题我们给出一个列子。例：把0.迈化成分数。解：设/?=0.12,可以得到100/7=12.12,也就是100/7=12.12=12+0.12100/7=12+/?因此可以知道也就是0.12=-o9933例：把0.3迈化成分数。解：因为0.12=—所以0.312=0.3+0.12=—+—=—+—=—o331033330330330以上就是对循环小数的一些简单结论。1.数轴规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上的每一个点对应着一个