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1、第一章随机IT件及其概率第一节随机现象及其统计规律性一、随机现象:在自然界及人类社会屮广泛存在看这样•类现象:在垄本条件不变的情况下,•系列观察或试验会得到不同的结果。这类现象称为随机现象。为了研究随机现象,必须引入如下两个基本概念:1.如港一个试验在相同的條件下可以匝复进彳工,但爭先不能准确预肓它的绻呆,这个试验就称为一个随机试验。注:①随机试验的涵义是广泛的,可以指科学试验,也可以指对某一现象的观察。②随机试验通常简称为“试验”,用E、E
2、、E?等表示。2.设E是个随机试验,A表示E的一个既冇可能发生乂冇町能不发
3、生的结果,则_A一程为E的一个机事件。注:①随机爭件通常简称为“爭件”,用A、B、C、ArA?、A3等表示。②“必然事件”与“不可能事件”可理解为两个特殊的随机事件,分别用Q及①表示。二、随机现象的统计规律性:锂人量次观察或试验W,随机现象一定会表现出菜种较强的规律性,称为随机现象的统计规律性。概率论就是研究随机现象统计规律性的•门数学学科。而随机现象的统计规律性最主要地表现为随机事件的频率稳定性,具体说明如下(可通过抛硬币的试验來理解):1.什么足随机事件的频率:设E是个随机试验,A是E的某个事件,n表示试验的总次
4、数,g表示这n次试验中A发生的次数,则g/n称为这n次试验中A发生的频率,记为/n(A),即/n(A)=nA/no2.什么是随机爭件的频李•稳定性:当试验的次数n较小时,事件A发生的频率具育较人的不确定性;但随着试验次数n的无限增人,事件A发生的频率将农现出越來越强的稳定性,即fn(A)越來越集中地在某个常数附近摆动。出现这种现象不是偶然的,而是必然的,是由事物的某种本质特性(如硬币的均匀性)所决定的。第二节事件之间的关系及运算一、事件可理解为由若干样本点组成的集合:设E是个随机试验,A表示E的一个事件。1.E的一个
5、基本结果称为E的一个"样本点”;E的所有样本点构成的集合称为E的“样本空间”。注:①这两个概念又分别称为基本事件与基本空间。②E的样本空间的描述方式往往并不是唯一的。2.所谓“将事件A表示为集合”,就是“将事件A表示为所有导致A发牛的样本点的集合”。因此,随机事件对理解为由若干样本点纽•成的集合,是样本空间的一个了集。
6、A发生OA所包含的某一样本皆彌。3.必然爭件表示为集合就是样本空间,也就是全集,今后都用同一记号Q表示;不可能爭件表示为集合是空集,今后祁用同一记号“表示。★基本例题L1:対下列每一小题,写出E的样本
7、空间Q,并将有关事件表示为集合。%1E表示“随意掷一粒均匀骰子”,A二{点数为奇},B={点数24},O{点数W6},D={点数>6}。%1E表示“随意掷三枚均匀硬币”,A={恰冇一枚正面朝上},B={至少二枚正面朝上},O{三枚都正面朝上}。%1袋中装有4只门球和2只黑球,E表示“从袋中先后各取一球”,A={第一次摸出的是黑球),B={第二次摸出的是黑球},O{两次摸出的都是黑球}。(见课本P.8例6)特别提醒:在学习“概率的古典定义”之前,应复习排列组合的慕木知识:(1)什么是“加法原理”与“乘法原理”?(2)从
8、n个丕回.元素中取出m个元素,可以得到一个排列,也可以得到一个组合。这二者的区别在于是否考虑顺序。(3)从n个不同元素屮取出m个元素,共可得到P「个排列。(4)从n个不同元素屮取出m个元素,共可得到C『个组合。(5)P,=加>一1)(〃一2)・・・02—加+1)=恋孑;C〃!/zt!(«-/«)!(6)0!=1;P;=n!;C:=C〉1;C『虫严。(7)二项式定理:(p+g)"=工创泸/从。k=0%1.事件之间的关系及运算:见如下表格。主要应理解有关符号在概率论及集合论场合的含义。符号集合论场合的含义概率论场合的含义
9、备注A集合随机事件以下的灰色部分是事件间的关系,其余是事件间的运算(结果仍为事件)。常用文氏图表示事件间的关系及运算(方框表示样本空间,方框屮的闘圈表示事件)。Q全集必然事件,样木空间①空集不可能事件AUB(BOA)A包含于B(B包含A)A发生则B发生(B不发生则A不发生)文氏图见课本P.10。A=BAUB且BuAAUB且BUAAUBA与B的并集“A与B至少有一发生”文氏图皆见课本P.10;AQB也记为AB;AUB及AQB都可推广到n个事件的情形。AABA与B的交集“A与B同时发生”ABA与B的差集“A发生但B不发生
10、”AA的补集“A不发牛”(A的对立事件)B=AA与BM为补集A与B的发生非此即彼(A与B相互对立)文氏图?若A与B互不相容,则AUB也记为A+Bo两个事件若相互对立则互不相容,但反Z不一定。AQB=OA与B无公共元素A与B不可能同时发生(A与B互不和容)此外还应记住如下基本公式:①uAufl;A=A;fl=O;①=Q;Ap
11、A=①;AUA=Q;