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1、概率论与数理统计学习指导(3,4)《概率论与数理统计》学习指导·疑难分析·例题解析·自测试题安徽工业大学应用数学系·内容提要编目录第一章随机事件及其概率...................错误!未定义书签。第二章随机变量及其分布...................错误!未定义书签。第三章多维随机变量及其分布................................2第四章第五章第六章第七章第八章随机变量的数字特征.................................12大数定律和中心极限定理.............错误!未定义
2、书签。数理统计的基本概念.................错误!未定义书签。参数估计...........................错误!未定义书签。假设检验...........................错误!未定义书签。1第三章多维随机变量及其分布内容提要1、二维随机变量及其联合分布函数设X,Y为随机变量,则称它们的有序数组(X,Y)为二维随机变量.设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x、y,称二元函数F(x,y)?P{X?x,Y?y}为(X,Y)的联合分布函数.联合分布函数具有以下基本性质:(1)F(x,y)是变量x或y的非减函
3、数;(2)0?F(x,y)?1且F(??,y)?0,F(x,??)?0, F(??,??)?0, F(??,??)?1;(3)F(x,y)关于x右连续,关于y也右连续;(4)对任意点(x1,y1),(x2,y2),若x1?x2,y1?y2,则F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)?F(x1,y1)?0.上式表示随机点(X,Y)落在区域[x1?X?x2,y1?Y?y2]内的概率为:P{x1?X?x2,y1?Y?y2}.2、二维离散型随机变量及其联合分布律如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值是有限对或可列对,则称(X,Y)为二维离散型随机
4、变量.设(X,Y)为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为(xi,yj),i,j?1,2,?将P{X?xi,Y?yj}?pij (i,j?1,2,?)或表3.1称为(X,Y)的联合分布律.表3.12??i?1j?1联合分布律具有下列性质:(1)pij?0;(2)??pij?1.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数p(x,y),使得二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)对任意实数x,y有xyF(x,y)???dy,则称(X,Y)是二维连续型随机变量,称p(x,y)为(X,Y)的联合密度函数????p(x,y)dx(或概率密
5、度函数).联合密度函数具有下列性质:(1)对一切实数x,y,有p(x,y)?0;????(2)??dy?1;????p(x,y)dx(3)在任意平面域D上,(X,Y)取值的概率P{(X,Y)?D}???p(x,y)dxdy;D?2F(x,y)?p(x,y).(4)如果p(x,y)在(x,y)处连续,则?x?y4、二维随机变量的边缘分布设(X,Y)为二维随机变量,则称FX(x)?P{X?x,???Y???},FY(y)?P{???X???,Y?y}分别为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.当(X,Y)为离散型随机变量,则称pi.??pij (i?
6、1,2,?) p.j??pij (j?1,2,?)分别为j?1i?1??(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.当(X,Y)为连续型随机变量,则称????(X,Y)关于X和关于Y的边缘密度函数.pX(x)????p(x,y)dy, pY(y)????p(x,y)dx分别为5、二维随机变量的条件分布(1)离散型随机变量的条件分布3设(X,Y)为二维离散型随机变量,其联合分布律和边缘分布律分别为P{X?xi,Y?yj}?pij,P{X?xi}?pi. ,P{Y?yj}?p.j (i,j?1,2,?),则当P{Y?yj}?p.j?0时,称P{X?xi
7、,Y?yj}P{Y?yj}pijpi.j固定,且P{X?xi
8、Y?yj}??pijp.j,i?1,2,?为Y?yj条件下随机变量X的条件分布律.同理,有P{Y?yj
9、X?xi}?,j?1,2,?(2)连续型随机变量的条件分布设(X,Y)为二维连续型随机变量,其联合密度函数和边缘密度函数分别为:p(x,y),pX(x),pY(y).则当pY(y)?0时,在p(x,y)和pX(x)的连续点处,(X,Y)在条件Y?y下,X的条件概率密度函数为:pX
10、Y(x
11、y)?p(x,y)p(x,y).同理,有pY
12、X(x
13、y)?.pY(y)pX(x)6、随机变量的独立
14、性设F(x,y)及FX(x)、FY(y)分别是(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数x,y有