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《贾哥高等数值分析第一次实验》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高等数值分析第一次实验第一题：构造例子说明CG的数值形态。当步数=阶数时CG的解如何？当A的最大特征值远大于第二个最大特征值，最小特征值远小于第二个最小特征值时，方法的收敛性如何？解：用Housholder变换和对角阵构造1000阶正定对称矩阵A：1）构造对角阵D=diag(linspace(1,1000,1000))；2）构造Householder阵H。取单位向量w=[1,0,0,.....0]T，I为1000阶单位矩阵，H=I–wTw。3）构造对称正定矩阵A。A=HTDH。由于D是对角阵，H是对称的，所以A对
2、称；且A与D具有相同的特征值linspace(1,1000,1000)>0，因此A对阵正定。4）b=rand(1000,1);取初始解x0=zeros(1000,1);1.计算Ax=b利用matlab编程实现CG算法。由于实际计算存在机器误差，因此迭代1000步后的残差不等于0，因此不能用rk=0作为停机准则，否则matlab会无休止地计算下去。本例采用停机准则为：迭代步数=1000步。当D=diag(linspace(1,1000,1000))时，条件数k=1000；当D=diag(linspace(1,100
3、,1000))时，条件数k=100；当D=diag(linspace(1,10,1000))时，条件数k=10；分别计算上述三种条件数下的CG算法，得到迭代步数与残差的曲线图。图1：log(‖rk‖)与步数关系曲线。横坐标是迭代步数，纵坐标是残差的对数值。图1如图1所示，矩阵A的条件数k越小，CG法收敛速度越快。附matlab程序1-1：clearallclc%条件数k=1000D=diag(linspace(1,1000,1000));w=eye(1,1000);I=eye(1000);H=I-w*w';A=H
4、'*D*H;%生成1000阶的对称矩阵b=rand(1000,1);x=zeros(1000,1);%初始解r=b-A*x;%初始残量p=r;%初始搜索方向k=0;semilogy(0,norm(r),'r-');holdon;whilek<1000alpha=r'*p/(p'*A*p);x=x+alpha*p;rold=r;r=rold-alpha*A*p;beta=r'*r/(rold'*rold);p=r+beta*p;semilogy(k,norm(r),'r-');holdon;k=k+1;end%条件
5、数k=100clearallD=diag(linspace(1,100,1000));w=eye(1,1000);I=eye(1000);H=I-w*w';A=H'*D*H;%生成1000阶的对称矩阵b=rand(1000,1);x=zeros(1000,1);%初始解r=b-A*x;%初始残量p=r;%初始搜索方向k=0;semilogy(0,norm(r),'b-');holdon;whilek<1000alpha=r'*p/(p'*A*p);x=x+alpha*p;rold=r;r=rold-alpha*A
6、*p;beta=r'*r/(rold'*rold);p=r+beta*p;semilogy(k,norm(r),'b-');holdon;k=k+1;end%条件数k=10clearallD=diag(linspace(1,10,1000));w=eye(1,1000);I=eye(1000);H=I-w*w';A=H'*D*H;%生成1000阶的对称矩阵b=rand(1000,1);x=zeros(1000,1);%初始解r=b-A*x;%初始残量p=r;%初始搜索方向k=0;semilogy(0,norm(r
7、),'black-');holdon;whilek<1000alpha=r'*p/(p'*A*p);x=x+alpha*p;rold=r;r=rold-alpha*A*p;beta=r'*r/(rold'*rold);p=r+beta*p;semilogy(k,norm(r),'black-');holdon;k=k+1;endtitle('条件数的大小对CG法收敛特性的影响');xlabel('迭代步数')ylabel('残差对数log(
8、
9、rk
10、
11、)')2.构造特殊特征值分布构造对称正定矩阵A1和A2。D1=
12、diag(linspace(1,1000,1000))时，条件数k=1000，特征值均匀分布；D2=diag([1,linspace(500,600,998),1000])时，条件数仍为k=1000，最大特征值1000远大于第二个最大特征值600，最小特征值1远小于第二个最小特征值500。图2：矩阵特征值分布对CG算法收敛性的影响图2如图2所示，A1和A2的条件数均为10
