高等数值分析第一次实验

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1、数值分析第一次实验高等数值分析第一次实验姓名:张奇龙学号：2013210849第一题构造例子说明CG的数值形态。当步数=阶数时CG的解如何？当A的最大特征值远大于第二个最大特征值，最小特征值远小于第二个最小特征值时，方法的收敛性如何？解：（1）构造1000阶正定对称矩阵：①特征值设为linspace(1,1000,1000)，构造对角阵D=diag(linspace(1,1000,1000))；②构造Householder阵H。H=I–wTw，其中w的2范数为1，I是单位矩阵。根据Householder矩阵的性质，知，H是对称正交矩阵。③构造对称正定矩阵A。A=HTDH。由于

2、D是对角阵，H是对称的，所以A对称；又因为A的特征值是linspace(1,1000,1000)>0，因此A正交。综上，构造得到正定对称矩阵A。（2）计算Ax=b利用matlab编程实现CG算法。b=rand(1000,1)，x0=rand(1000,1)。计算每一步迭代的残差。A的阶数为1000。残差rk的对数值对步数的关系曲线如图1所示：数值分析第一次实验图1：log(‖rk‖)与步数关系曲线。横坐标是迭代步数，纵坐标是残差的对数值。如图所示，矩阵A的条件数越小，CG法收敛速度越快。（3）构造特殊特征值分布构造对称正定矩阵A1和A2。A1的特征值分布为linspace(1

3、e-4,1e4,1000)。对于A2，首先为linspace(1,10,1000)，然后将其最小特征值换成1e-4，最大特征值换成1e4。进行(2)中的实验。实验结果如图2所示：数值分析第一次实验图2：矩阵特征值分布对CG算法收敛性的影响如图2所示，A1和A2的条件数均为1e8，但A2的收敛速度远高于A1。这是因为，在CG算法中，A的中间特征值分布对CG的收敛速度有巨大的影响。实际上，在经过几步后，CG的收敛因子将是：而非因此，本题中A2矩阵的收敛速度较快。第二题对于同样的例子，比较CG和Lanczos的计算结果数值分析第一次实验解：（1）构造1000阶正定对称矩阵：与第一题

4、相同，分别构造条件数为10、100、1000的三个对称正定矩阵。（2）利用Lanczos算法计算Ax=b。设置停机准则为残差小于sqrt(eps)。在计算中分别采用CG和Lanczos方法，分别分析条件数为10、100、1000时的结果，如图3。图3：CG法与Lanczos法比较如图所示，当矩阵A为对称正定时，两种方法效果相当，收敛速度基本一样。具体的收敛性情况见表1。条件数CG法Lanczos法迭代次数时间（秒）迭代次数时间（秒）10002051.64062042.73441001080.89061071.062510350.2656340.3125可以看到，由于Lancz

5、os方法的每一步迭代中都有一个Lanczos过程，其中需要构造Tk和Qk，以及计算yk，故该方法需要耗费更长的计算时间。数值分析第一次实验第三题当A只有m个不同特征值时，对于大的m和小的m，观察有限精度下Lanczos方法如何收敛。解：根据前两题的思路与Lanczos算法，分别构建m=10、50、100、1000四个矩阵A，设置停机准则为残差小于sqrt(eps)，分别计算Ax=b的解，如图4所示。图4：矩阵A具有m个不同特征值时，Lanczos算法的收敛性如图4所示，m较小时，收敛速速较快。达到收敛时迭代步数如表2所示。数值分析第一次实验m10001005010迭代次数20

6、5634310可以看到，如果A只有m个不同的特征值，则Lanczos之多m步就可以找到精确解。实验中，在m较大的时候，收到条件数和特征值分布的影响，算法收敛较快，远小于m。当m较小时，可能需要接近于m步才能找到准确解。第四题取初始值近似解为零向量，右端项b仅由A的m个不同特征向量的线性组合表示时，Lanczos方法的收敛性如何？数值计算中方法的收敛性和m的大小关系如何？解：根据前面的思路与Lanczos算法，A的特征值为linspace(1,1000,1000)，分别构建m=10、50、100、1000四个矩阵A，即b分别由10、50、100、1000个A的特征向量线性表示，

7、设置停机准则为残差小于sqrt(eps)，分别计算Ax=b的解，如图5所示。数值分析第一次实验图5：b由m个不同特征向量组成如图5所示，m较小时，收敛速度较快，具体数值如下表所示。m10001005010迭代次数192135214理论上，b仅由A的m个不同特征向量的线性组合表示时，Lanczos方法必然m步收敛。但实际上，当m较大时，由于精度等方面的限制，m个特征向量并不都线性无关，所以，m=1000时只需187步迭代。而m=100时迭代次数增多也是由于数值精度引起的。数值分析第一次实验第五题构造对称不