椭圆中面积背景下的综合问题

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1、椭圆中面积背景下的综合问题典型问题已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为C．（Ⅰ）若，且，求此时面积；（Ⅱ）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．ABCOxy解题过程（Ⅰ）设．得，原点（0,0）到直线的距离为，所以，=（Ⅱ），，由，代入上式得：，当且仅当时取等号，此时．6又，因此所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为.变式拓展一已知椭圆方程为：，过它的两个焦点，分别作直线与，交椭圆于两点，交椭圆于两点，且．求四边形的面积的取值范围。解题过程当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为，若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为．直线的方程为，设，

2、，联立，（1），，（2）用代替（2）中的，得，，令，，6，综上可知，四边形面积的.变式拓展二（2015衢州4月质检）已知椭圆：设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值．解题过程设，的内切圆半径为，则所以要使取最大值，只需最大设直线的方程为将代入可得(*)恒成立，方程(*)恒有解，记在上递减当，此时变式拓展三（2009福建文改编）已知椭圆6的左、顶点分别为A、B,点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点，当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明

3、理由解题过程直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而，得设则得，即又，则直线为得，故，，当且仅当时，取得最小值，此时的方程为，要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线，则由，解得或经检验，不符合，舍去，所以椭圆上只存在一个使之成立。课后巩固训练1、（2015温州一模理）已知椭圆C:的下顶点为B(0，－1)，B到焦点的距离为2.(Ⅰ)设Q是椭圆上的动点，求

4、BQ

5、的最大值；6(Ⅱ)直线l过定点P(0，2)与椭圆C交于两点M，N，若BMN的面积为，求直线l的方程.参考答案：解：（I）由椭圆的下顶点为知．由到焦点的距离为

6、知．所以椭圆的方程为．设，．∴当时，．（II）由题设可知的斜率必存在．由于过点，可设方程为.与联立消去得．其．（*）设，则．．解得或均符合（*）式，∴或．所求方程为与.2、(2015浙江理)已知椭圆对称，6ABOxy求实数的取值范围；求面积的最大值（O为坐标原点）.参考答案：或当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.3、（2015绍兴高三上期末）已知椭圆（），其右顶点为，上、下顶点分别为，．直线的斜率为，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点（，均在轴右侧）．求椭圆的方程；设四边形面积为，求的取值范围．参考答案：4、(2015湖州高三上期末)已知椭圆（）的右焦点为上顶点为过点作直线与椭

7、圆交于另一个点，若，求外接圆的方程；若过点作直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上的动点，且满足(为坐标原点)，当时，求面积的取值范围.参考答案：6