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1、第一章矢量分析1,1.矢量的基木运算(1・2学时)1.2、矢量的通量和散度(3.4学时)1.3、矢量的环量和旋度(5.6学时)1.4>标量的方向导数和梯度(7.8学吋)第1、2学吋1.1矢量的基本运算max.bookll8.com矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量(Scalar)和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，屯场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以表示成？A=aA其中，A
2、是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a二A/A其大小等于1。—个大小为零的矢量称为空矢(NullVector)或零矢(ZeroVector),一个大小为1的矢量称为单位矢量(UnitVector)。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、z轴分量的方向。空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，如图所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(PositionVector),它在直角坐标系中表示为r=axX+ayY+azZX、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。任一矢量A在三维止交坐标系
3、中都可以给出其三个分量。例如,在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az,利用三个单位矢量ax、ay>az可以将矢量A表示成：A=axAx+ayAy+azAz矢量A的大小为A：A二(A2x+A2y+A2z)l/2max.bookll8.com加法和减法矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量Z和，矢量加法的结果仍是矢量max.bookll8.com乘积矢量的乘积包括标量积和矢量积。1)标量积任意两个矢量A与B的标量积(ScalarProduct)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图「2
4、所示，记为A??B=ABcos()2)矢量积任意两个矢量A与B的矢量积(VectorProduct)是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1・3所示，记为C=AXB=anABsin0?an=aAXaB(右手螺旋)矢量积乂称为叉积(CrossProduct),如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即AXB二・BXA?AX(B+C)=AXB+AXC直角坐标系中的单位矢量有下列关系式:?
5、axXay=az,ayXaz=ax,azXax=ayaxXax=ayXay=azXaz=0?在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为矢量函数的导数与积分矢量函数一•般是空间坐标的函数，有吋它也是时间的函数。在我们以后研究的有关内容屮必将涉及到矢量函数随空间坐标和吋间的变化率问题，既对上述变量的导数问题矢量函数的导数与积分矢量函数对空间的偏导数仍是一个矢量，它的分量等丁原矢量函数各分量对该坐标的偏导数。这一结论同样矢用于矢量函数对时间求导数。矢量函数的积分包括不定积分和定积分两种，它们和一般函数的积分在形式上类似，所以--般函数积分的基木法则对矢量函
6、数积分也适用。矢量场矢量场的矢量线矢量场中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数A=A(P)来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以写成如下形式：A=A(x,y,z)设Ax,Ay,Az为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐标分量，且假定它们都具有一阶连续偏导数，则A又可以表示为A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y/z)+azAz(x,y/z)所谓矢量线是这样一些曲线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上(如图「4所示)，像静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场屮的流线等，都是矢量线的例子。第3、4学时1.2矢量的通量和散度1.2.1矢量
7、场的通量在矢量场A小取一个面元dS及与该面元垂直的单位矢量n(外法向矢量，如图所示)，则面元矢量表示为：dS=ndS由于所取的而元dS很小，因此可认为在而元上各点矢量场A的值相同，A与而元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量记作A??dS=Acos0dS因此矢量场A穿过整个曲面S的通量为max.bookll8.com.矢量场的散度1)散度的定义设有矢量场A,在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面S,设S所限定的体积为AV,当体积AV以任意方式缩向P点时，取下列极限：如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处的散度，记作第5、6学
8、吋1.3矢量的环度和旋度1.3.1环量的定义设有矢量场A,I为场中的一条封闭的冇向曲线，定义矢量场A环绕闭合路径I的线?积分为该矢量的环
