3.1.1__方程的根与函数的零点

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1、第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法今天我们来学习方程的根与函数的零点！1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点）2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.(易错点）3.会求函数的零点.（重点

2、）探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3（2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1（3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3方程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2-2x-3=0.....xyO－132112543y=x2-2x+3函数的图象与x轴的交点.....yx－1

3、2112Oxy－132112－1－2－3－4....0.方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根函数y=ax²+bx+c(a＞0)的图象判别式Δ=b2－4acΔ＞0Δ=0Δ＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2一般结论一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点对于函数y=f(

4、x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数零点的定义：注意：零点不是一个点零点指的是一个实数方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点方程的根是函数的图象与轴的交点的横坐标.结论由此可知，求方程f(x)=0的实数根，就是求函数y=f(x)的零点.对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标.零点是对于函数而言，

5、根是对于方程而言．例1函数f(x)=x(x－4)的零点为（）A．(0，0)，(2，0)B．0C．(4，0)，(0，0)，D．4，0D由x(x－4)=0得x=0或x=4.注意：函数的零点是实数，而不是点.探究：如何求函数的零点？哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？（1）（2）如何求函数的零点？1234512345xyO-1-2-1-4-3-2观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)___0(填

6、“＜”或“＞”)．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（填“＜”或“＞”）．x=－1－45

7、”)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)零点；有xyOabc【提升总结】如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。例2判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区

8、间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）解：（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）abOxy如图,函