灵活运用两个原理，巧妙解决涂色问题

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1、灵活运用两个原理>巧妙解决涂色问题•中学数学论文灵活运用两个原理，巧妙解决涂色问题石金燕(武汉市新洲一中郑城校区，湖北武汉430400)摘要:通过多年的数学教学经验，对两个原理的学习总结了解题方法，分析灵活运用两个原理解决涂色问题的思路。关键词:两个原理；涂色；分类；分步中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-12-0067-01两个原理是学好排列组合的基础，也是学好概率的前提，因此，学生对两个原理掌握的熟练程度直接影响排列、组合、概率的学习。本人在教学过程中发现许多学生在利

2、用两个原理解决实际问题时经常出现分类不明确，思路不清晰的情形，导致一个题目产生许多错误结果。究其原因,学生在遇到较复杂的问题时,不知如何分类或分步解决,分类时又找不到一个较好的分类标准。本文从学生易出错的〃涂色〃问题出发，说明巧妙的分类标准在解决复杂问题时能起到事半功倍的效果。例1:用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D四个区域涂色，要求相邻区域不能同色,则不同的涂色方法有多少种?分析：如果按A,B,C,D的顺序涂，人有4种，B有3种，但C所选的颜色对D的选择有影响，原因在于A与C可以同色，可以不同色，因此本题

3、应以AzC是否同色为标准进行分类讨论。解：若A,C同色，则有:4x3x1x3=36种若AzC不同色z则有：4x3x2x2=48种・•.共有36+48=84（种）不同的涂色方法。例2:用四种不同的颜色给正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面涂色，要求相邻的两个面涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法?分析:此题可以从使用颜色的种数进行分类讨论解：（1）若用三种颜色，A34二24种（2）若用四种颜色,3A34=72种综上,共有96种变式：若必须用完4种颜色，有3A34=72种例3:将一个四棱锥的每个顶点涂上一种颜色z

4、并使同一条棱的两端点异色”如果只有5种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法共有多少种?分析：依P-A-B-C-D的顺序涂色，发现A与C是否同色对D点颜色的选取有影响,因此本题可以按A,C是否同色来分类讨论。解：若A,C同色，则有:5x4x3x1x3=180（种）若A,C不同色,则有:5x4x3x2x2=240（种）.・.共有180+240=420（种）不同的涂色方法。例4:（2010•天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则

5、不同的涂色方法共有多少种?分析:若本题按顺序涂色，首先要考虑B,E是否同色，又要考虑D,F是否同色，情形较复杂，易遗漏，易出错，若从另一角度确定分类标准,解决问题相对就容易些。题意中有四种颜色可供选择，而满足题设的涂法中要么共使用了三种颜色，要么共使用了四种颜色，因此，本题按共使用的颜色的种数分类，能使思路更清晰。解：①若共使用三种颜色，先涂A,D,E共有A34种方法，再涂点B,C,F有2种方法，因此有A34x2=48种②若共使用四种颜色，先涂A,D,E有A34种方法，再涂点B,C,F有3C13种方法，因此有A

6、34x3C13二216（种）方法。由分类加法计数原理，共有48+216二264（种）不同的方法。由以上几个典型例题可以看出，涂色问题若要求相邻位置不同色时”可按照相对位置是否同色作为分类标准进行讨论，若相对位置有几组，情形较复杂，可考虑从另一角度,如所选颜色的种数等进行分类，使问题得到灵活有效的解决。