高中数学第二章等式与不等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系应用案巩固提升新人教B版

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1、2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系[A　基础达标]1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为(　　)A．5　　　　　　　　　　　B．－1C．2D．－5解析：选B.设方程的另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.2．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)A．－1B．1C．－2或2D．－3或1解析：选A.由x(x＋1)＋ax＝0，得x2＋(1＋a)x＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ＝0.所以a＝－1.3．若α，

2、β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则＋的值是(　　)A.B．－C．－D.解析：选C.由题知α＋β＝－，αβ＝－3，所以＋＝＝－.4．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是(　　)A．2B．－1C．2或－1D．不存在解析：选A.由题知解得m>－1且m≠0.因为x1＋x2＝，x1x2＝，所以＋＝＝＝4m，所以m＝2或－1.因为m>－1，所以m＝2.5．若a，b，c为△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋2(

3、a－b)＝0有两个相等的实数根，则这个三角形是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形解析：选A.根据题意，得c－b≠0，Δ＝[2(b－a)]2－4(c－b)·2(a－b)＝0，(a－b)(a－b－c＋b)＝0，所以a－b＝0或a－c＝0，所以a＝b或a＝c，所以这个三角形为等腰三角形．6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝________.解析：由题知x1＋x2＝5，x1x2＝a.因为x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，所

4、以x1－x2＝2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，所以a＝.答案：7．设α，β是方程(x＋1)(x－4)＝－5的两个实数根，则＋＝________.解析：由题意，得α＋β＝3，αβ＝1，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝7，α4＋β4＝(α2＋β2)2－2α2·β2＝47，所以＋＝＝47.答案：478．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则＋的值是________．解析：由题知x1＋x2＝2，x1x2＝－1，x＝2x1＋1，x＝2x2＋1，故原式＝＋

5、＝＝＝＝6.答案：69．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)xx2＋x1x；(2)(x1－x2)2；(3)；(4)＋.解：，(1)原式＝x1x2(x1＋x2)＝×3＝；(2)原式＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－4×＝3；(3)原式＝x1x2＋＋2＝＋＋2＝；(4)原式＝＝＝.10．已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两个实根互为相反数？如果存在，求出k

6、的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)⇒，所以k<且k≠1.(2)若x1＋x2＝0，即－＝0，k＝，由(1)可知这样的k不存在．[B　能力提升]11．已知m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0，且mn≠1，则的值为________．解析：由题知n≠0，则1＋－＝0，即－－1＝0.又m2－2m－1＝0，且mn≠1，即m≠，故m，是方程x2－2x－1＝0的两个根，则m＋＝2.故＝m＋1＋＝2＋1＝3.答案：312．已知方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．解析：设x1，x2

7、为方程的两个根，则，

8、x1－x2

9、＝1，－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.检验当k＝9或k＝－3时，Δ＞0成立．答案：－3或913．已知关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0.(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为x1，x2且满足＋＝－，求m的值．解：(1)证明：Δ＝(4m＋1)2－4(2m－1)＝16m2＋5>0，所以方程总有两个不相等的实数根．(2)因为x1＋x2＝－(4m＋1)，x1x2＝2m－1，＋＝＝－，即＝－，所以m＝－.14．若x1，x2是关

10、于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个实数根，且x1，x2都大于1.(1)求实数k的取值范围；(2)若＝，求k的值．解：(1)⇒⇒⇒，所以k＞1＋.(2)由①③得.所以(2k＋1)2＝k2－1，k2－8k－11＝0，k＝4＋3或k＝4－3，满足Δ>0.[C　拓展探究]15．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．(1)是否存在实数