2019_2020学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习（含解析）新人教A版

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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－iB．1＋iC．－3＋3iD．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i，其实部为－1，故所求复数为1－i.2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A．－2B.C．－D．2解析：选D.复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.3．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2017i＝2－bi，则a2＋bi＝()A．2017

2、＋2iB．2017＋4iC．2＋2017iD．4－2017i解析：选D.因为a＋2017i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2017，即a＝2，b＝－2017，所以a2＋bi＝4－2017i，故选D.4．“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当a＝－2时，复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i＝－i，为纯虚数；当复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i为纯虚数时，有解得a＝±2，故选A.5．下列命

3、题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为____

4、____．解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，所以m2－m＝0，所以m＝0或1.答案：0或17．若复数cosθ－isinθ与－sinθ＋icosθ(θ∈R)相等，则θ＝________．解析：根据两个复数相等的充要条件，得cosθ＝－sinθ，即tanθ＝－1，所以θ＝kπ－(k∈Z)．答案：kπ－(k∈Z)8．使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．解析：由已知，得，解得m＝3，所以所求的实数m的取值集合是{3}．答案：{3}

5、9．已知关于实数x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．解：对①，根据复数相等的充要条件，得解得③把③代入②，得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，所以解得10．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z为实数时，则a2－5a－6＝0，且有意义，所以a＝－1或a＝6，且a≠±1，所以当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则a2－5a－6≠0，且有意义，所以a≠－1且a≠6，且a≠±1.所以当a≠±1

6、，且a≠6时，z为虚数，即当a∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有a2－5a－6≠0，且＝0.所以且a＝6，所以不存在实数a使z为纯虚数．[B能力提升]11．已知复数z＝cosα＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为()A.B.C.D.解析：选D.由条件，知cosα＋cos2α＝0，所以2cos2α＋cosα－1＝0，解得cosα＝－1或.又0<α<2π，所以α＝π或或，故选D.12．若关于x的方程x2－(6＋i

7、)x＋5＋i＝0有一根为实数x0，则x0＝________．解析：因为x2－(6＋i)x＋5＋i＝0的根为x＝5＋i或1，所以x0＝1.答案：113．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b的值．解：若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，得a＝－3，b＝±2.当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不合题意；当a＝－3，b＝2时，M＝{

8、3i，8}，N＝{3i，8＋4i}，符合题意．所以a＝－3，b＝2.若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i，即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2.当a＝－3，b＝－2时，不合题意；当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，N＝{3i，8}，符合题意．所以a＝3，b＝－2.若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}，则，即，此方程组无整数解．综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.1