浅谈换元积分法的教学

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1、浅谈换元积分法的教学换元积分法是高职数学的一个难点，解决这类问题既需要扎实的基础知识，即基木的微分和积分公式，又需要一定的技巧、一定的灵活性。如何让学生掌握好这一部分内容？我是这样教的。一引入在复习旧课时，我先让学生在黑板上默写十三个基本的积分公式，然后让学生观察公式中的被积函数，发现只有幕函数、指数函数和三角函数，缺了对数函数和反三角函数；即便是三角函数也只有正弦和余弦函数，没有正切余切等其它三角函数，缺失的这些函数的原函数曲原函数存在定理，是一定存在的，但如何求，就需要我们进一步研究新的方法。同时我让学生回忆初等函数的导数公式，发现这样引

2、入问题，激发了学生的学习兴趣，要解决诸如求等积分问题成为学生的共同愿望，新方法从何而来，我又引导学生回顾求导数、求微分的运算法则，指出求导数（求微分）和求积分互为逆运算，因此每一个求导法则往往有某个积分法与Z对应。那么对应于复合函数求导法则的积分法是什么呢？这时本课的主题一一换元积分法就呼之欲出了。二观察复合函数求导需引入的中间变量是显而易见的，那换元积分的中间变量从何而来，带着这个问题，我和学生一起研究，首先请学生观察和的关系，学生都看出的导数是，然后将改写为，这时屮间变量是顺理成章的事了。将，代入，被积表达式成为，其积分就非常好求了。最后

3、类似于复合函数求导将结果中的中间变量回代成原来的积分变量。有了这样一个例子，再让学生做，学生很快就能独立完成。%1.归纳通过的讲解及后面儿个题目的练习，我和学生一起归纳解题步骤。我将解题过程重写i遍，然后讨论每个等号代表的步骤，这就是凑微分、换元、求积、回代四步。其屮凑微分是解题的关键，需要试探。那就是把被积函数拆成两块的乘积，一块是中间变量的导数，一块是屮间变量的函数、且简单易积。这时再适当介绍书上的公式,其中，学生就易于接受了。%1.变化有时被积函数并非如，没冇，这就需对被积函数作恒等变换，化为的形式。试举一•例，让学生观察被积函数与13

4、个基木积分公式相比，与哪一个最为接近，学生回答与最为接近，那么设行不行，这时问题就在于与的关系。由微分知识易知，于是凑成，以下就没有问题了。再举一例，求，表而上看不出屮间变量，但恒等变换成,马上看出是的导数，于是令，则代入原式，问题立即解决。讲到这里，提醒学生遇到非正、余弦三角函数尽量化成正、余弦函数，因为正、余弦函数的导数、积分都较为简单。%1.简化学生在学完复合函数求导后，知道对复合函数分解熟练后，可不必写出中间变量，只要把中间变量所代表的式子默记在心，运用复合函数的求导法则逐层求导即可。换元积分同样也可不写出中间变量，仍举为例，求解过程

5、写成,这样就省去了换元和冋代两步。为了熟练掌握这一技巧，需做一-定的练习，通过这些练习和微积分基本公式的熟记,使学生一看到被积表达式，就会想到作为小间变量的函数，并会在式子小加上必要的系数。例：通过的练习，在（）中填入，再求，则原式可写成，从而得到积分的结果为0这种方法还适用于需多个中间变量的换元积分。%1.提高解决难度更大一点的换元积分问题，需对被积函数进行恒等变换，除拆成两部分乘积，一部分为中间变量的函数，一部分为中间变量的导数外；还可拆成两部分之和，使每部分者易于求积。如将拆成。有时几种方法并用才能解决问题。如这时先将被积函数拆成的函数

6、和的导数的乘积，再将拆成和的形式，从而化成易积的函数形式。以上讨论的都是第一-类换元积分，最后简单讨论第二类换元积分，指出两者差别在于第一类换元积分的中间变量是积分变量的函数，而第二类换元积分的积分变量是中间变量的函数。第二类换元积分适用于被积函数含有（令解决问题），、、（用辅助直角三角形进行反变换解决问题）。总的来说，要让起点低、水平低的技校生学好高等数学，只能采取循序渐进、由简到繁、由易到难的原则；对于重要的必须掌握的知识点想尽一切方法讲透多练，对于次要的或学生难于接受的，则适当放弃须知百发百中的一门大炮要胜过百发一中的百门大炮。