浅谈换元积分法的应用.doc

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1、浅谈换元积分法的应用【摘要】本文从学生的认知能力出发，拓展基本积分公式的作用，采用等价变形、转化等方法，力求解决换元积分中如何换元问题，以此揭示求解不定积分的解题思想方法.【关键词】不定积分;公式拓展;转化;数学方法人多数学生在中学时就非常熟悉换元法，它是解答相关问题的常用数学方法，换元积分法是高等数学教学中的一个重点，也是教学屮的一个难点•较多的学生感到不容易掌握换元积分公式的应用，原因是把握不好怎样换元，为此，我在教学实践中做了以下尝试：一、引导学生对基本积分公式的再认识，拓展基本积分公式的应用传统的教学方法是先介绍换元积分公式，再运用公式求积分设Jf(u)du二F(u)+C且u二©(

2、x)可导,则有/f[(t)(x)(x)dx二jf(©(x))d(t)(x)二(u)du二[F(u)+C]二F(e(x))+C.问题是怎样将jg(X)dx化为ff[©(x)]e'(x)dx形式，学生往往感到困惑.如果从学生已经熟悉的知识出发，进一步挖掘基本积分公式的作用，其实教材屮16个基本积分公式就是16类换元积分公式，对此学生的反映是：目标明确，易于操作.例如介绍公式fludu=lnu+C时指岀这里u二x成立，当u是x的函数,即u二©(x)时f14)(x)d©(x)=ln4)(x)+C也成立于是有f12x+ld2x+l=ln2x+l+C;jlsinxdsinx二lnsinx+C二、发挥等

3、价变形在换元积分中的作用，解决好如何换元问题如何将一个不定积分形式转化为基本积分公式类型是解决换元积分问题的关键•下面以求两个例题的不同解法说明.例1求f11+cosxdx.解法1(应用三角函数公式合项、凑微分)f11+cosxdx二f1l+2cos2x2Tdx二f12cos2x2dx=12fsec2x2dx=fsec2x2dx2=tanx2+C.解法2(分子分母同乘、拆项、凑微分)jll+cosxdx=fl~cosxl-cos2xdx=fl~cosxsin2xdx二flsin2xdx-jcosxsin2xdx=fcsc2xdx-flsin2xdsinx=-cotx+lsinx+C・解法3

4、(利用万能公式)设t=tanx2,则sinx二2tl+t2,cosx二l-l21+t2,dx=21+t2dt・于是1+cosx二l+l-t21+t2二21+t2.所以f11+cosxdx二fl+t22?21+t2dt=fdt二t+C二tanx2+C・解法4(添项、凑微分)f11+cosxdx二jl-sinxl+cosxdx+jsinxl+cosxdx二f1一sinxl-cosxl-cos2xdx+fsinxl-cosxdx=fl-sinx-cosx+sinxcosxsin2xdx-j11+cosxdl+cosx二-cotx~lncscx-cotx+1sinx+1nsinx-ln11+cos

5、x

6、+C・例2求flxx2~ldx（x>1）.解法1（三角代换）设x二sect,0<tflxx2~ldx=flsecttantsecttantdt=fdt二t+c二且rccoslx+C.解法2（第二换元法）设x2T二tx=t2-l,则dx=lt2-ldt・flxx2Tdx二f11.2+1.t.tt2+ldt=jdtt2+l=arctant+C=arctanx2-l+C・解法3（倒数变换、凑微分）设x=lt,则dx=-lt2dt.flxx2-ldx=jIltlt2-l-lt2dt=f-ll-t2dt=-arcsint.+c=-arcsinlx+C・通过教学示范，让学生逐步认识到利

7、用换元积分法求积分，重要的是要善于观察已给积分的形式，应用相关变形、代换转化为某个基本积分公式类型求解