素数阶射影平面的一种新构造

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1、第32卷第5期2014年10月中国民航大学学报JOURNALOFCIVILAVIATIONUNIVERSITYOFCHINAV01．32No．5October2014素数阶射影平面的一种新构造陈尚弟，卫慧慧(中国民航大学理学院，天津300300)摘要：射影平面是由欧氏平面加上一条非固有直线构成的，它在射影几何中的存在性是一个重要的研究课题。在组合设计中，射影平面与仿射平面有着密切的联系，并且一个q阶射影平面对应一个(92+g+1，g+1，1)对称设计，一个q阶仿射平面对应一个(q2，q，1)可分解设计。本研究从无

2、穷远元素和射影直线入手，给出射影平面的定义，进而利用矩阵的初等变换及矩阵对角线上元素的位置变换的理论，构造了一个可分解设计的平行类，最后通过增加q+1个无穷远点的方式得到素数阶射影平面的一种新构造，并且举例验证了构造的有效性和正确性。关键词：射影平面；仿射平面；设计；矩阵中图分类号：0157文献标志码：A文章编号：1674—5590(2014)05—0061—04NewconstructionofprojectiveplanesofprimeorderCHENShang-di．WElHui一^“i(coffege

3、ofScience，CAUC，Tianjin300300，China)Abstract：TheexistenceofprojectiveplanewhichconsistsofEuclideanplaneandanextrinsicstraightlineisanimportantresearchsubjectinprojectivegeometry．Thereisacloseconnectionbetweenaffineplaneandprojectiveplaneincombinatorialdesign．A

4、proj‘ectiveplaneoforderqcorrespondstoa(92叼+1，q+l，1)symmetricaldesign，andanaffineplaneoforderqcorrespondstoa(q2,q，1)resolvabledesign．Beginningwithinfinityelementandpro。jectiveline，thedefinitionofprojectiveplaneisgiven．Furthermore，theelementarytransformationofm

5、atrixandthepositioritransformationofthediagonalelementsareusedtogettheparallelclassesofaresolvabledesign．Fi·nally，anewconstructionofprojectiveplaneofprimeorderisobtainedbyaddingq+lpointsintoeachparallelclass．Thecorrectnessandefficiencyoftheconstructionarevali

6、datedthroughanexample．Keywords：projectiveplane；affineplane；design；matrix在区组设计中，一个q阶射影平面的存在等价于一个q阶仿射平面的存在，也等价于q一1阶正交拉丁方的存在。因此，可以通过研究仿射平面来研究射影平面。人们在研究有限射影几何时，通常利用有限域和有限群的知识来构造射影平面。文献[1]讨论了素数幂q阶射影平面的存在性等价于包含一个口阶正规子群的q(q一1)阶2一可迁子群＆的存在性，并给出了几种2一可迁子群&的构造方法。文献[2]通过有

7、限半域构造有限射影平面，并给出任意一个有限半域决定一个不满足Desargues定理的射影平面。文献[3]详细介绍了图论的知识并讨论了有限射影平面的点线关联图，给出了通过图论知识构造射影平面的方法。文献[4]通过初等数论知识和关联矩阵的定义给出一类对称设计的设计方案，从而得到素数阶射影平面的构造法，对于解决实际问题容易而且快速。文献【5—7]讨论了非素数幂阶射影平面的存在性，并证明10阶射影平面是不存在的。文献【8]给出了一个g阶射影平面对应一个(92+q+1，q+1，1)对称设计，故研究g阶射影平面的存在性问题，

8、转化为研究v，k，1)设计的存在性问题。本文旨在研究射影平面的构造，第1节中引出了关于有限关联结构的知识；第2节给出了对称设计及射影平面的概念，并讨论了它们之间的联系；第3节具体给出了q(q为素数)阶射影平面的另一种构造，收稿日期：2013—09一11；修回日期：2013—10—14基金项目：国家自然科学基金项目(61179026)作者简介：陈尚弟(1964一)，男，山西