2.1多边形new

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1、四边形本章内容第2章本节内容2.1多边形观察你能从图2-1中找出一些由线段首尾相连所组成的图形吗？图2-1在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.组成多边形的各条线段叫作多边形的边.相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点.连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角.例如在图2-2中，AB是边，E是顶点，BD是对角线，∠A是内角.在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫正多边形.多边形根据边数可以分为三角形，四边形，五边形，……图2-2动脑筋三角形的

2、内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？如图2-3，四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形，因此四边形的内角和等于这两个三角形的内角和，即180°×2=360°.图2-3探究在下列各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点画出所有对角线，并完成下表.五边形六边形七边形八边形五边形53（5-2）×180°六边形6七边形7图形边数可分成三角形的个数多边形的内角和五边形六边形八边形8…………n边形n4（6-2）×180°（7-2）×180°5（8-2）×180°6n-2（n-2）×180°五边形六边形七边形

3、八边形如图2-4，n边形共有n个顶点A1，A2，A3，…，An.与顶点A1不相邻的顶点有(n-3)个，因此从顶点A1出发有(n-3)条对角线，n边形被分成了(n-2)个三角形.n边形的内角和等于这(n-2)个三角形的内角和，因此n边形的内角和等于(n-2)·180°.图2-4结论n边形的内角和等于(n-2)·180°由此得出：动脑筋你还可以用其他方法探究n边形的内角和公式吗？如图2-5，在n边形内任取一点O，与多边形各顶点连接，把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和n·180°减去中心的周角360°，得n边

4、形的内角和为（n-2）·180°.图2-5例1（1）十边形的内角和是多少度？（2）一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？举例解（1）十边形的内角和是(10-2)×180°=1440°.（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2)×180°=1980°，解得n=13.所以这是一个十三边形.（1）正十二边形的每一个内角是多少度？练习（2）一个多边形的内角和等于1800°，它是几边形？答：150°.答：十二边形.过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成10个三角形，那么这个多边形是几边形？答：十二边形.练习

5、如图2-6，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角.在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角.图2-6动脑筋我们已经知道三角形的外角和为360°，那么四边形的外角和为多少度呢？如图2-7，在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4.∴∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-360°=360°.∵∠1+∠DAB=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠ADC=180°，又

6、∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴四边形的外角和为360°.图2-7探究三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，n边形（n为不小于3的任意整数）的外角和都是360°吗？n边形的外角和与边数有关系吗？类似于求四边形外角和的思路，在n边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内角之和为180°.因此，这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来是n·180°，将这个总和减去n边形的内角和（n-2)×180°所得的差即为n边形的外角和.n·180°-（n-2)×180°=［n-（n-2

7、)］·180°=2×180°=360°.n边形的外角和与边数没有关系.结论任意多边形的外角和等于360°.由此得出：例2一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？举例解设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n-2)·180°.由题意得(n-2)·180°=5×360°，解得n=12.因此这个多边形是十二边形.观察三角形具有稳定性，那么四边形呢？用4根木条钉成如图2-8的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？图2-8我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性.在实际生活

8、中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图2-9（a）中的电动伸缩门、图2-9（b）中的升降器.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图2-9（c）中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性.图2-9（a）（c）（b）1.一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？练习答：这个多边形是八边形，每个内角是135°.2