极限——公式总结

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1、浅谈极限计算H啸省经济贸易学校李发梅我们知道，极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法。同时，极限是微分的理论基础，研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分等，由此可见极限的重要性。而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是绝大多数学牛尤其是基础较差的屮专学生较为头痛的问题。求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。求的方法很多，针对中专学生的实际情况，笔者从基本概念、基本思路和计算方法三个方面总结如下。%1.基本概念要求函数的极限，

2、首先而且必须要正确理解两数的极限以及与其有关的儿个垂要的基本概念。Em/(%)=j4<^>lim/(x)=limf(x)=AXT9XTFlim¥(x)=Aolim/(x)=lim/(x)=XT心XTK：石以上两个充要条件不仅给出了判断极限是否存在的一个准则，而且指明了"Too含义为XT+8、2®两方而；XTOO的含义为XT恋XT石两方面。2.无穷人和无穷小无穷大和无穷小（除常数0外）都不是常数，而是两类具有特定变化趋势的变量，如果变量》在某变化过程中，其绝对值无限制地增大，则称丁在该变化过程中，为无穷大如果在某变化过程中变量y以零为极限，则称y在该变化过程中，为无穷小。笼

3、统说某变杲是无穷大或无穷小而没有指出变化趋势都是不止确的。要求极限必须理解下而儿个与无穷大或无穷小有关的重要关系，它们对求函数的极限非常有用。⑴函数的极限与无穷小的关系:lim/(^)=Aof(x)=A+a,苴中a是xTxa(xT8)时的无穷小，即lima=0•xT*

4、的极限值一定等于该点的函数值；而极限则是指两数在某点附近的变化趋势，而与函数在该点处是否有定义或该点处的函数值没有关系。杓lim/（x）=lim/（为=/（心）联系是：⑴函数/囚在兀点连续的充要条件是:皿3亦°由此充要条件在可以判断分段函数在分段点处的连续性。㈱兀三lim⑵函数/囚在勺点连续af存在。%1.求极限的基本思路极限的计算题屮分两人类：一类是确定型的极限，它包括以下儿种情况:1•根据初等函数的连续性；2.直接利用极限运算法则；3.利用无穷大与无穷小的关系；4•利用无穷小•有界函数乘积为无穷小。0co另一类是未定型（也称未定式）的极限，它包扌⑺E、石、8—8、广型

5、。计算耒定型限的基本思路是通过恒等变形等转化为确定熨的极限进行计算，或利用两个重要极限，或罗必达法则进行计算。%1.求极限的方法㈠.确定型的极限1•利川连续函数的连续性求极限一一代入法山函数八刀在®点连续定义知，gO由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值，就是求其函数在该点处的函数值。【例1】：求卿"+2—5）【解】・.ja）=*+2—5是初筹函数，在英立义域（全lim（x2+2兀-5）体实数）内连续・•・所以用代入法求出该点的函数值就可。即心=2-2+2-2—5=3©—2x+3—2x+3【例2】；求2°/+6【解】rh于妙二/+6在兀

6、=0处连续，所以十X3-2x4-331lim=—=—u，+6622•利用极限的四则运算法则求极限。特别地唸Q・SLc•A;B,则史^1/a）±m（RLa土B；幌箸餌0）f(x).£(X)La•B3•利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”性质求极限。利用“无穷小为有界函数的乘积仍为无穷小”这一性质对以计算某些函数的极限，但在应用这一性质求极限时，要注意求解过程的写法。r.1.1limxsin-sin—【例3】求zx的极限【解】当"TO时，x是无穷小，而兀是有界函数,因此利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小很快就会得解。于是,4.利川无穷人与无穷小的关系求极限。无穷大与无穷

7、小的关系：无穷人的倒数是一个无穷小；反之，在变化过程中不为零的无穷小，其倒数为一个无穷大。v兀+4lim【例4】求极限5兀一1x-1x-1lim【解】因为"兀+4二0。即兀+4是当XT1时的无穷小，根据无穷大与无穷小的关系乂+4lim^-^=cx3可知，它的倒数K是当XT1时的无穷大，即i】x-l5•分别利川左右极限求得函数极限求分段函数在连接点处的极，要分别求左、右极限求得函数极限。它根据以卜•定理:lim=/(x)=^mf(x)=A/(X)=O对于分段函数g(X)^0~5