极限存在准则-两个重要极限公式

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1、第六节极限存在准则两个重要极限第一章（Existencecriterionforlimits&Twoimportantlimits）二、两个重要极限一、极限存在的两个准则三、内容小结7/4/202111.单调有界准则数列单调增加单调减少准则I单调有界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限单调下降有下界数列必有极限说明:(1)在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛．(2)利用准则Ⅰ来判定数列收敛必须同时满足数列单调和有界这两个条件．7/4/20212(3)准则Ⅰ只能判定数列极限的存在性，而未给出求极限的方法

2、．例如，数列，虽然有界但不单调；，虽然是单调的，但其无界，易知，这两数列均发散．数列(4)对于准则I，函数极限根据自变量的不同变化过程也有类似的准则，只是准则形式上略有不同.例如，准则I′设函数在点的某个左邻域内单调在的左极限必存在．并且有界，则7/4/20213作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：首先，证是单调的．＝＝所以，数列是单调增加的．7/4/20214显然，单调性的证明可证得数列是单调增加的．设数列由于数列是单调增加的，所以数列是单调减少的.又其次，证有界．类似于，则则.综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是收敛的.7/4

3、/20215通常用字母来表示这个极限，即也可以证明，当取实数而趋于或时，函数的极限都存在且都等于，即利用变量代换，可得更一般的形式7/4/20216例1解:例2求解:7/4/202172.夹逼准则准则II证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故7/4/20218我们可将准则II推广到函数的情形：准则II′且注意:准则II和准则II′统称为夹逼准则..,的极限是容易求的与并且与关键是构造出利用夹逼准则求极限7/4/20219例3解：由夹逼准则得7/4/202110解:利用夹逼准则.且由思考题：？1211lim222=ø

4、öçèæ++++++¥®pppnnnnnnL7/4/202111夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法．下面利用它证明另一个重要的圆扇形AOB的面积证:当即亦即时，显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有注极限公式：7/4/202112当时注7/4/202113例4求解:例5求（课本例7）解:令则因此原式注:利用变量代换，可得更一般的形式7/4/202114例6求（课本例5）解:例7求（补充题）解:7/4/202115内容小结1.极限存在的两个准则夹逼准则;单调有界准则.2.两个重要极限或注:代表相同的表达式7/4/20

5、2116课后练习习题1-61（2）（4）2（2）（4）（6）3（3）思考与练习1.填空题(1～4)7/4/202117解：原式=2.求7/4/2021183.证明证明：对任一，有，则当时，有于是,（1）当时，由夹逼准则得（2）当时，同样有7/4/202119故极限存在，4.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则7/4/202120证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法5.设7/4/202121