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《高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高数求极限方法总结及其例题详细解答1.定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上lim（3x-l）=5面的极限严格定义证明，例如：；“T2（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。例7:已知(sin"=8$X,・刀、・开解：原式=($mx),
2、=cos-=0^*x422.极限运算法则定理1已知血/⑴，limg（x）都存在，极限值分别为A,B,则下面极限都存在,
3、且有(])lim[/(x)±g(x)]=A±B(2)lim/(x)-^(x)=AB⑶咲优H，（此时需昨0成立）说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。例6：limJTT9J/+1-3x3x+sinx解:原式女■+丄J9x+smx-3hm―-—9x-Fsinx8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则
4、求极限v丿3兀+1—2lim例x-1v(a/3x+1)2-22v3x-33lim/=lim/=—解：原式=^>(x-1)(V3xT1+2)―(%-1)(73771+2)4注：本题也可以用洛比达法则。lim4n(J〃+2_Jn_)例2〃T832rVh[(h+2)-(h-1)]f侖+㊁+侖-I解:原式二上下同除以3"(一厅)+1=lim/I—“2、・，(了)+1解：原式31.两个重要极限..sinxlimlim(l+x)x=e(2)zlim(l+丄)”XT8X说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还
5、应能够熟练运用它们的变形形式，例如:sin3xt=1limgo3xlim(l-2x)"2v=extOlim(l+3p=eX—8JC利用两个重要极限求极限lim例5go1一cosX3x22sin2—2sin2—〔lim鸟=lim=-53兀—2.（兰）26解：原式二2注：本题也可以用洛比达法则。2lim（l-3sinx）x例6心（）解:1-6sinx原式肿isin沪-F1-6sinx=lim[(l-3sinx)_3sinx]xxtOr八_2、nlim(——)例7心8n+1解：原式=。2n+一3”$"+
6、1一3"lim(l+二耐=lim[(l+二-)巧=e~3“Toon_
7、_1"Toon-
8、_11.等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当xt°时，下列函数都是无穷小（即极限是0）,且相互等价，即有：X〜sinx〜tan兀〜arcsin无〜arctanx〜ln（l+无）〜丘”-10说明：当上面每个函数中的自变量X换成£（力吋（g（x）TO）,仍有上面的等价关系成立，例如：当XT0时，幺力_］〜3无；ln（l_F）〜_兀2。定理4如果函数/（兀），£（兀）丿1（兀），＜
9、?1（兀）都是兀时的无穷小，且于（X）〜lim止lim/W久⑴，g（x）〜幻⑴，则当WgQ）存在时,fog（兀）也存在且等于/(X)XT勺g
10、(X),艮卩XTX。g(X)=XfY。g
11、(X)利用等价无穷小代换（定理4）求极限lim—I.A-—>0例9xln(l+3x)arctan(x2)解:lim原式=gox-3xaxT0时，ln(l+3x)〜3兀，arctan(x2)〜x2lim—例IO"®x-sinx严气广g_])esinx(x-sinx).lim=lim=1解：原式二gox-sinxxtox-
12、sinx注：下面的解法是错误的：r(eA-l)-(esinv-l)rx-sin^〔lim=lim=1原式;二才tox-sinx才tox-sinxo正如下面例题解法错误一样：limA->0tanx-sinxx-x门=lim———=0x3x->0兀-tan(xsin—)lim例11"Tosinx•••当兀T0时,x2sin—是无穷小，・•・tan（x2sin丄）与/sin丄等价解：兀无兀x2sin—]lim=limxsin—=0所以，原式二心。x“TOX。（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限
13、有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。Hm（Jl+xsiz—l）
14、imsinsin（x-l）例1.zex-12.golnx5•洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数/（Q和&（兀）满足:（1）/（兀）和g°）的极限都是0或都是无穷大；（2）兀兀）和g（兀）都可导,且g（兀）的导数不为0；（3）&（X）存在（或是无穷人）；lim世lim炉lim^lim^则极限g（x）也一定存在，且等于g（兀
