高等数学求极限的14种方法总结（附例题详解）及等价替换公式总结

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1、高等数学求极限的14种方法总结(附例题详解)及等价替换公式总结一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设］im=a,(i)若A>0,则有6〉0,使得当Ov

2、x—无。1<5时，/(x)>0；(ii)若有6>0,使得当0<

3、x-x0

4、<^lit,/(x)>0,则AhO。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为XToo时函数的极限和XTX。的极限。要特别注意判定极限是否存在在：(i)数列{兀卅攵敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”⑴)lim=lim"无T8XT—8xt

5、+oo(iiDlimdolim=lim=A(iv)单调有界准则(V)两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理)(vi)柯西收敛准则(不需要掌握)。极限lim/W存在的充分必要条件是：Xf0V£〉O,m》〉O,使得当兀］、兀2丘0(兀0)时，恒有f^)-f(x2)

6、，不可能是负无穷。其次，必须是函数的导数要存在，假如告诉f(X)、g(x)，没告诉是否对导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0OO(i)“工”“一”时候直接用0OO(ii)“0・OO”“00-00”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项2,Jn就能变成(i)中的形式了。即/(x)g(x)=或/(x)g(x)=*¥)；m-)g)二g(x)/⑴g(x)f(x)fMg(x)A八cfxa(x}j<(x)lnf(x)Gii)“t”“oo°”

7、对于幕指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即=e，这样就能把幕上的函数移下来了，变成“0・oo”型未定式。1.泰勒公式（含有『的时候，含有正余弦的加减的时候）护=1+兀+尤2!xn+•••+一n!+(斤+1)!兀r3r无穷小与有界函数的处理办法。例题略。面对复杂函数时候，尤其是止余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需耍知道它的范围结果就出来了。夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩人不等式的技巧。以下面儿个题口为例：（1）设a>b>c>0,兀严也"+夕+c〃，求lim^解：由于avg折，以及lim

8、Q=Q,[im（Q”^）=Q，由夹逼定理可知limE=a>oo"T8H—>oo丫2加+1.Y?y"IT?'"prcf)y2-釜+》…話+("总徐严—…+(—1)〃1rn—+(-irn（斤+1）（1+禺）“和（1+X）“二1+似+况（况_D_?+.・・+c：y+Cf1（1+禺）“一心xn+,*<“、/以上公式对题1=1简化有很好帮助4•两多项式相除:设an，饥均不为零，P(x)=anxn+an_{xn~'+•••+a)x+a0,Q(x)=bmxm4-bm_{xm~x+•••++Z?o(i)vP(x)!吧丽”—,(m=n)bn0,("V"7)8,(刃〉m

9、)(ii)若2(xo)^O,(2)求lim"T811产+(”+1)2+…+1(W解：由08yn"+n”T8h+1V/77.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：求limb+2兀+3/+・・・+处心）（

10、x

11、

12、式了求和。HT88.数列极限屮各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：1,曲（佇去+・“+為）飞吏卜出冷+…+%「％"+l））T曲卜％+l））i9.利用乙与£+i极限相同求极限。例如:（1）已知①=2,a沖=2+丄，且已知lim①存在，求该极限值。a”“T8解:设lim。”二A,（显然A>0）则人=2+丄’WA~—2A—1=0,解得结果并舍去负值得A=l+V2”T8A（2）利用单调有界的性质。利用这种方法吋•加要先证明单调性和有界性。例如=j2+g,求lim*”MT8解：(i)显然西

13、vJ2+忑