数学规划之钢管和易拉罐下料

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1、生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小1.6钢管和易拉罐下料原料下料问题按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大数学模型问题1.如何下料最节省?例1钢管下料问题2.客户增加需求：原料钢管:每根19米4米50根6米20根8米15根客户需求节省的标准是什么？由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？5米10根【问题】数学模型按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。切割模式余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺

2、寸余料3米8米1根8米1根【问题分析】数学模型为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？合理切割模式2.所用原料钢管总根数最少模式4米钢管根数6米钢管根数8米钢管根数余料(米)14003231013201341203511116030170023钢管下料问题两种标准1.原料钢管剩余总余量最小数学模型xi~按第i种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)约束满足需求决策变量目标1（总余量）按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米模式4米根数6米根数8米根数余料140032310132013412035111160301

3、70023需求502015最优解：x2=12,x5=15,其余为0；最优值：27。整数约束：xi为整数数学模型当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标目标2（总根数）钢管下料问题约束条件不变最优解：x2=15,x5=5,x7=5,其余为0；最优值：25。xi为整数按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米虽余料增加8米，但减少了2根与目标1的结果“共切割27根，余料27米”相比数学模型板材规格2：长方形，3228cm，2万张。例2易拉罐下料每周工作40小时，每只易拉罐利润0.10元，原料余料损失0.001元/cm2（不能装配

4、的罐身、盖、底也是余料）模式1：1.5秒模式2：2秒模式3：1秒模式4：3秒上盖下底罐身罐身高10cm，上盖、下底直径均5cm。板材规格1：正方形，边长24cm，5万张。如何安排每周生产？【问题】数学模型罐身个数底、盖个数余料损失（cm2）冲压时间（秒）模式1110222.61.5模式224183.32模式3016261.81模式445169.53模式1:正方形边长24cm计算各种模式下的余料损失上、下底直径d=5cm，罐身高h=10cm。模式1余料损失242-10d2/4-dh=222.6cm2【问题分析】数学模型目标:易拉罐利润扣除原料余料损失后的净

5、利润最大约束：每周工作时间不超过40小时；原料数量：规格1（模式1~3）5万张，规格2（模式4）2万张；罐身和底、盖的配套组装。注意：不能装配的罐身、上下底也是余料决策变量xi~按照第i种模式的生产张数(i=1,2,3,4)；y1~一周生产的易拉罐个数；y2~不配套的罐身个数；y3~不配套的底、盖个数。【模型构成】【模型假设】数学模型目标约束条件时间约束原料约束产量余料时间x1222.61.5x2183.32x3261.81x4169.53y1~易拉罐个数；y2~不配套的罐身；y3~不配套的底、盖。每只易拉罐利润0.10元，余料损失0.001元/cm2罐身面积

6、dh=157.1cm2底盖面积d2/4=19.6cm2(40小时)【模型构成】数学模型约束条件配套约束y1~易拉罐个数；y2~不配套的罐身；y3~不配套的底、盖。罐身底、盖1102401645产量x1x2x3x4虽然xi和y1，y2，y3应是整数，但是因生产量很大，可以把它们看成实数，从而用线性规划模型处理。数学模型将所有决策变量扩大10000倍（xi~万张，yi~万件）LINDO发出警告信息：“数据之间的数量级差别太大，建议进行预处理，缩小数据之间的差别”模式2生产40125张，模式3生产3750张，模式4生产20000张，共产易拉罐160250个(罐身

7、和底、盖无剩余)，净利润为4298元【模型求解】OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)0.4298337VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY116.0250000.000000X10.0000000.000050X24.0125000.000000X30.3750000.000000X42.0000000.000000Y20.0000000.223331Y30.0000000.036484数学模型下料问题的建模确定下料模式构造优化模型规格不太多，可枚举下料模式，建立整数线性规划模型，否则要构造整数非线性规划模型，求解困难，可用缩小可行域

8、的方法进行化简，但要保证最优解的存在。