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1、高考极限问题求解的十大策略刘才华（湖北省广水市一中432700）极限是高考的重点，也是高考常考内容，是联系初等数学和高等数学的桥梁.本文归纳了高考极限问题求解的十大策略，供同学们参考.一、根据连续的定义求极限若函数/（兀）在点x=处连续，则lim/（x）=/（x0）,这样将求极限转化为求函数值.兀2+zvr+3例1（1998年上海春季卷）若lim,：=2,则。=.iX+3V*4-//Y+3解•••函数fM=在兀=1处连续，r+3=/(1)%1.根据导数的定义求极限函数/（X）在x=x（）的导数为linv心）-心））=厂（北），这样将求极限值转化为函数•f0X-Xo在一点处的导数
2、.例2（2006年重庆卷）已知函数f（x）=（x2+bx+c）ex，其中b,ceR为常数.若b2<4(c-1),且lim"i=4,试证：—6WbW2."TOX解v/(O)=c,Kfx)=[x2+(Z?+2)x+Z?+c]ex,・・・/'(O)=b+c,又根据导数定义，limmi=lim/E—/(°)=/70)=b+c.5X-0p+c=4,由已知条件得・上2<4(c-l),・・・戸+4/?-12WO,・・・-6WbW2.三、利用无穷等比递缩数列求和公式求极限1一9若数列｛色｝是等比数列，且公比g满足Iglvl,则前〃项和的极限s=hmsn=/I—>00这样利用公式求极限值.例3
3、(2006年湖南卷)数列｛%｝满足：ax=-,且对于任意的正整数加，n都冇①卄”am-an,则lim(q+a2+・・・+色)=()n—>co〜1?3(A)一(B)一(O-(D)2232解J对于任意的正整数m,〃都有%=%•a9173-nd-^1+n则・・・数列｛an｝是无穷等比数列且公比g=—,•lim(6Z
4、+禺+…+Q”)n->ao3__11—q3•••选(A)•四、有理化求极限若分子或分母是无理式，则町对分子或分母有理化后再求极限.例4(2006年陕西卷)lim——1=—等于()e2w(Vn2+l-Vn2-l)(A)0(B)-(C)(D)1膜2〃(厶？+1一厶2_1)(
5、厶2+1+厶2一])2/2(厶？+1-V«2-1)(Vh2+1+厶2—1)•••选(C)•五、分类讨论求极限若极限式小含冇参数，并且极限值因参数的取值不同而变化，应对参数的取值进行分类讨论.例5（2005年天津卷）un=aH+an~lb+an~2h2+•••+abn~x+bn（neN*,d>0,b>0）.求解utl=an+an-[b+an'2b2+•••+abn~[+bn,且a>Q,b>Qf若2=1即a=h,则％=S+l)d"；aAlim-^-=lim”T811Mn-Inan~[(n+l)aflv(n+1)(7=limntooa^x-bn+la-b•Unan-bn当a>b>0吋
6、，lim-^-E血-1ian-hna-b(-Yliman—>oof=a；1-(-)na当0vqv方n寸，・：lim上「'宀仏-]wan-bnlim"T8(勺"-1b（心b〉O）,・・・lim生i如-1(08lim^.这样建立关于极限值的方程，通过解方川一>00程求极限.例6（2004湖北卷）已知d>0,数列｛%｝满足aA=a,an^=+〃….已知数列｛色｝极限存在且人于零，求A=liman（将4用d表示）;"T8解Vliman存在，且A=liman,・・・在等式陽+
7、=Q+丄两边取极限,
8、则有lim%=lim(d+—),n—>coHT877•*.A=q—,即A2—ciA—1=0,A・・・A=°土"°也,又A〉0,2.Q+JC?+4・・A=.2七、和式或积式化简求极限若极限式是和式或积式，可先对极限式变形化简后再求极限.例7(2006年辽宁卷)lim"TOO—+(—62526〃5〃$)+•••+(纟丄limZ1->005-4)+刍二)+•••+(丄丄)6562526"5”z444、,666、］曲55?5"77?7"W/555.444、(1y+…)—(1—y+…)6626n5525"^n-(-ri-n-(-ri55771--1--』)“一(丄)"n—>oolim——
9、厂壬=lim吕—J6655651--1--65八、换元法求极限若极限式的形式比较复杂，不便丁•利川已知，可利川换元法化简极限式再求极限.X—1.-1"则卿帀可例8(2005年江西卷)若lim^(X_1)(A)—1(B)1(c)4(d4解令t=x-l,贝Ijlim型r->0I1，令5=2-2%,贝"映.f(2—2x)巳吧了盍1v$——lim25/(5)XT1•••选(0.%1.洛比达法则求极限若极限式lim®^把兀二如代入时，出现°或竺时，并n/(x)>g(x)在点%=x()处fog(x)00
