高考数学总复习课时作业堂堂清函数2-5

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1、第五节　反函数考纲要求1.会求一些简单函数的反函数．2．了解反函数的概念及互为反函数的图象关系．考试热点1.会求函数的值域(即反函数的定义域)，能通过解方程会用y表示x.2．利用反函数的概念和互为反函数的相关性质解决相关问题.1．反函数及其有关概念(1)函数y＝f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)解得x＝φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝φ(y)，x在A中都和它对应，那么x＝φ(y)表示y是自变量，x是的函数，那么把叫做函数y＝f(x)的反函数，记作(2)习惯上函数y＝f(x)

2、的反函数记作．有唯一的值x＝φ(y)x＝f－1(y)．y＝f－1(x)自变量y(3)如果函数y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，那么函数y＝f－1(x)的反函数就是．这就是说与互为反函数．(4)函数y＝f(x)的定义域，正好是它的反函数y＝f－1(x)的，函数y＝f(x)的值域正好是它的反函数y＝f－1(x)的．y＝f(x)y＝f(x)y＝f－1(x)值域定义域2．互为反函数的函数图象间的关系(1)函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f－1(x)的图象关于对称．(2)若函数y＝f(x)的图象过点(a，

3、b)，则y＝f－1(x)的图象必过点，即f(a)＝b⇔.直线y＝x(b，a)f－1(b)＝a(3)有关互为反函数的部分结论．①互为反函数的两个函数在相应的区间上单调性．②定义域上的单调函数反函数．③定义域为非单元集的偶函数反函数．④奇函数若存在反函数，则它的反函数是．(填“奇函数”或“偶函数”)⑤周期函数反函数．相同存在不存在奇函数不存在注意：互为反函数的两个函数的图象的对称性是在横、纵坐标单位长度相同的前提下研究的．答案：D解析：由x≥4得f(x)≥2，反函数的定义域为[2，＋∞)，故可排除A、C，又由

4、x≥4时得f－1(x)≥4，则可排除D.故选B.答案：B3．若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，则g(b)等于()A．aB．a－1C．bD．b－1解析：由f(a)＝b，∴f－1(b)＝a，即g(b)＝a，应选A.答案：A4．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图象经过Q(5,2)，则b＝________.解析：函数y＝f－1(x)的图象过点Q(5,2)，于是y＝f(x)的图象过点(2,5)，则22＋b＝5，所以b＝1.答案：1[拓展提升]掌握求反

5、函数的三个步骤，准确地求出反函数，其次注意求分段函数的反函数时应分别求出各段函数的反函数后再合成．[答案]4[拓展提升]《考试大纲》要求“会求一些简单函数的反函数”．本题以分段函数的形式给出函数解析式，由此构建出一个新的函数，求此函数的函数值．其中涉及g－1(－4)的函数值的求解问题，通法是先求得g(x)的反函数，将－4代入即可，但分段函数的反函数求解较为麻烦，可以通过设而不求法来求解，具体模式为令g(a)＝－4⇔a＝g－1(－4)，解方程可得字母a的值．[例3]若函数f(x)的反函数为f－1(x)，则函

6、数f(x－1)与f－1(x－1)的图象可能是()[解]f(x－1)的图象与f－1(x－1)的图象各自由y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象向右平移一个单位得到，所以f(x－1)的图象与f－1(x－1)的图象关于y＝x－1(由y＝x向右平移一个单位)对称．选项B，D中，其中之一的图象过点(0,2)，那么关于y＝x－1对称后，过点(3，－1)，即另一个函数的图象过点(3，－1)，所以B，D错误；选项C中，其中之一的图象过点(0,1)，那么关于y＝x－1对称后，过点(2，－1)，即另一个函数的图象过点(2，－1

7、)，所以C错误；用同样方法检验可得A是正确的．[答案]A[拓展提升]y＝f(x)的图象与y＝f－1(x)的图象关于y＝x对称，而y＝f(x－a)(a>0)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移a个单位得到的，y＝f－1(x－a)的图象是由y＝f－1(x)的图象向右平移a个单位得到的，故y＝f(x－a)与y＝f－1(x－a)的对称轴为y＝x－a.(1)函数y＝f(x)的反函数y＝f－1(x)的图象与y轴交于点P(0,2)(如图1所示)，则方程f(x)＝0的根是x等于()A．4B．3C．2D．1(2)函数y＝1

8、＋ax(01)．答案为A.也可先作y＝1＋ax(0