基于思维导图的线性代数复习策略

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1、基于思维导图的线性代数复习策略摘要：线性代数是硕士研究生入学考试《高等数学》科目的必考内容之一，概念抽象，性质，结论众多，考生在复习过程中不易把握，本文以思维导图为工具，从线性代数的核心概念一一矩阵的可交换性入手，分析相关的考研试题，绘制岀导图，得到本类问题的本质特征，进而指出思维导图对于学生形成自己的学习模块有辅助作用。关键词：思维导图线性代数可交换矩阵一、引言思维导图(MindMapping)是英国TonyBuzan在20世记70年代初期所创的一种使人类更有效地利用大脑的笔记方法，是一种将放射性思考具体化的方法，它能帮助我们进

2、行思考、理清思路。在我们不清楚问题、概念Z间的关系时，从其屮的一个问题或概念入手，利用思维导图可以把头脑中的信息联系起來，形成可视化的图表，从而使问题空间呈现可视化效果，以便深入了解这个问题，同时也加深对问题空间的认识[1][2]。线性代数是硕士研究牛入学考试高等数学科目的必考内容之一，在复习过程中，学生时常感到概念多、性质多，同时在做题的时候感到似曾相识却无从下笔。其实线性代数是一个整体的体系，如果我们在复习的时候有意识引入思维导图，就可以帮助我们把其中相关的模块联系起來，进而找到它们的关系，从整体上把握它们。二、实例构建导图下

3、面我们就以矩阵中的一个小结论入手，看看思维导图能帮助我们获得什么。我们从矩阵中的可交换矩阵入手，之所以选择它，是因为首先矩阵是线性代数里的一个核心概念，它和线性变换是不同形式下的同一事物，其次矩阵的乘积一般不满足交换律，但是当它满足交换律后，便带来了很多好的结论，因此是考研题型的热点Z-O我们收集了涉及可交换矩阵的考研试题，部分有代表性的如下：（1）证明：设若n阶方阵A、B满足A+B二AB,则A、B可交换；（2）证明：若A,B为n阶方阵，满足AB=BA,则A,B有公共的特征向量；（3）证明：若A,B为n阶方阵，满足AB=BA,则存

4、在n阶可逆阵T使得：（4）若A,B为n阶可对角化方阵（也可说它们的初等因子皆为一次的），满足AB=BA,则存在n阶可逆阵T使得A,B可同时对角化。（5）若A,B为n阶实对称阵，则AB=BA的充要条件是存在n阶正交阵T使得A,B可同时对角化。我们在分析以上各题的解题思路基础上，以mindmanager为工具，最终绘制导图如下：从下图可以看出：1•作为第一优先级级的是可交换矩阵和可交换线性变换，也即我们这里列出的所有有关可交换矩阵的概念和结论，在可交换线性变换中同样适用。2•作为第二级的有概念、性质（1）概念A,B可交换的概念有两个，

5、第一个是显概念，也即一般的教科书上给的定义，我们遇到的题目（我们把它归到第三级）一般是已知一个低阶矩阵，要求可与它相交换的矩阵的集合，其中需要用到矩阵乘积、相等，解线性方程组等知识点。第二个概念是一类考研题，我们把它称为可交换矩阵的隐概念，也即当满足A±B=AB时，有AB=BAo耍证明这个结论，需耍用到可逆矩阵的定义（即AB=BA=I）o一般来说，考研试题中会把它作为一个条件，加入到一个大题中，其本质是A,B满足可交换性。（2）性质：当A,B满足可交换时，A,B中至少有一个相同的特征向量。这是一个关键性质，需耍用到特征子空间和不变

6、子空间的概念，也即A的属于某个特征根的特征子空间V是B的不变子空间；这个性质可得到好的结论：存在可逆矩阵P,使得均为上（下）三角阵。其证明思路是从的这个特征子空间的基入手，构建的基，利用数学归纳法可以证明。3.考研热点考研试题中经常出现的有关可交换矩阵的一类较难的试题是在第4级和第5级，但通过思维导图会发现，它们的条件、形式虽然不同，但均需要利用A,B有相同的特征向量这一条件，但性质中给出的是当A,B满足可交换时，A,B中至少有一个相同的特征向量，为了得到有完全相同的特征向量，需耍加强条件：“A可对角化”。也即：当AB=BA,并满

7、足A可对角化时，B也可对角化，且A,B有相同的特征向量。这里需要用到的结论有：（1）当A为对角阵，且AB=BA时，B也为对角阵；（2）存在可逆阵P,使P为对角阵。（1）当有个互异的特征根时（有的考研题在这里也会设个套，即给出关于的特征多项式的根的特征：（f（X）,fz（X）二1）,显然A可对角化，其结论有三个：©A,B有相同的特征向量（其作成的列向量组即为矩阵P）；%1B也可对角化；%1B可表示为的多项式形式。结论1、2是A可对角化的两个结论，第三个需要用到待定系数法，设岀形式多项式，通过矩阵的相等，方程组的解结构，行列式的性质等

8、证明。