任意角的三角函数及基本公式

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1、第18讲任意角的三角函数及基本公式（第课时）神经网络准确记忆！任意角的三角函数重点难点好好把握！重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。考纲要求注意紧扣！1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4.掌握正弦、余弦的诱导公式。命题预测仅供参考！任意角三角函数的意义，三角函数值的符号；考点热点一定掌握！1．角的定义⑴角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转

2、而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。⑵射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。2．弧度制⑴等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度”作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。注意：表示1弧度角的正弦，表示2弧度角的正弦，它们与、7/7不是一回事。⑵一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。⑶设一个角的弧度数为，则（为这角所对的弧长，为半径）。⑷所有大小不同的角组成的集合与实数集是

3、一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。⑸弧度，弧度。度0º30º45º60º90º180º270º360º弧度0⑹弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为，扇形面积为，圆心角大小为弧度，半径为，则，。3．角的集合表示⑴终边相同的角设表示所有终边与角终边相同的角（始边也相同），则（也可记为）。⑵区域角介于某两条终边间的角叫做区域角。例如（也可记为）。⑶象限角以角的顶点为原点，以其始边为轴的正半轴建立直角坐标系，则角的终边落在第几象限，这个角就叫做第几象限的角。例．已知在第二象限，问在哪一象限？解：∵，∴，当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限。点评：第一二象限角

4、的半角在第一或第三象限，第三四象限角的半角在第二或第四象限，记住这一结论，可提高解题速度。例．中，已知，,(、是锐角,)求角。分析：、是锐角,故角可能是锐角，也可能是钝角。显然，如果想通过去求角是无法确定角是锐角还是钝角的。所以应该求。解：，显然，角在第一象限，约为。7/7点评：如果要利用一个角的三角函数值来确定此角究竟在那一象限，需要选择适当名称的三角函数。掌握判定一个角是锐角还是钝角的方法，是很有用处的。例如求证一个平面截直三面角所得的截面是锐角三角形，只要证明这个三角形的每个内角的余弦大于零。4．三角函数的定义及符号⑴三角函数定义设角终边上一点的坐标为（，）与

5、原点的距离为（），那么下面的六个比值：分别叫做角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，并且分别用符号表示为：，，，，，。⑵各三角函数在各象限的符号如下图：符号记忆：“正弦一二为正”，“余弦一四为正”，“正切一三为正”。注意：①由求时，应该由所在的象限来确定的符号。②去掉的根号时，如果，应写为-。⑶终边相同的同一三角函数的值相等。即（，为三角函数）。⑷三角函数线（以第一象限角为例）正弦线余弦线正切线余切线例．确定的符号。解：画出单位圆，用线段把和表示出来，图中线段，，显然，，∴。5．同角三角函数的关系⑴倒数关系：，，。⑵商数关系：，，7/7⑶平方关系：，，。6．三角函

6、数的诱导公式以180º或360º作为基准，加减一个角，这样的角的三角函数可以化为的同名函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。例如：。以90º或270º作为基准，加减一个角，这样的角的三角函数可以化为的余函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。例如：。诱导公式的记忆口诀：横同纵余，符号看象限。（“横”指以横轴作为基准，“纵”指以纵轴作为基准。）利用诱导公式，可以把任意角的三角函数化为锐角的三角函数。如果有必要（例如在做证明题时），可以利用，，互为余函数的关系，进一步把任意角的三角函数化为不大于45º角的三角函数。7/7能力测试认真完成！1．是第二象限角，其终边上

7、一点，且，则的值为（）.；.；.；.-。2．已知锐角终边上一点的坐标为（2，-2），则角的弧度数为（）.3；.-3；.；.。3．已知，则的值等于（）.；.；.；.。4．若，则在（）.第一象限；.第二象限；.第三象限；.第四象限。5．设且，则的取值范围是（）.；.；.；.。6．设、是到间的角，如果，那么与之间的关系如何？7．确定下列各式的符号：⑴；⑵。8．化简：。7/7参考答案仔细核对！12345678角的定义√√√弧度制√角的集合表示三角函数的定义及符号√√√同角三角函数的关系√√√三角函数的诱导公式√√1．是第二象限角，其终边上一点，且，则的值为（）.；.；.