时间谱方法中的高效GMRES算法

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1、航空学报ActaAeronauticaetAstronauticaSinicaJul．252017Vol。38No．7SSN1000．6893CN11．1929／Vhttp：Hhkxbbuaaedu．CFIhkxb@buaaeduca时间谱方法中的高效GMRES算法贡伊明1，刘战合2，刘溢浪1，张伟伟1’*1．西北工业大学航空学院，西安7100722．郑州I航空工业管理学院航空工程学院，郑州450046摘要：研究了时间谱方法求解周期性非定常流场的计算效率，并对时间谱方法应用于周期性非定常流动的隐式求解方法进

2、行探讨。当采样点数增加或减缩频率增大时，时间谱方法对应的雅可比矩阵对角占优性质迅速恶化，导致很多传统的迭代方法失效。为了解决上述问题，论文采用带预处理的广义极小残差(GMRES)算法来提高雅可比系数矩阵的计算收敛性。使用时间谱方法对NACA0012翼型强迫振荡算例进行计算，并与时域差分方法的计算效率和精度进行对比。研究表明在保证计算精度的同时，时间谱方法普遍可将计算效率提高一个量级左右。对于跨声速周期性流动，广义极小残差算法不论是稳定性还是收敛性都优于对称SGS迭代算法。关键词：时间谱方法；广义极小值残差(

3、GMRES)算法；周期性非定常流动；预处理；计算效率中图分类号：V211．3文献标识码：A文章编号：1000—6893(2017)07—120894—09近些年来，随着计算机性能的提高，计算流体力学(CFD)在工程中得到广泛的运用。在实际的工程应用中，很多问题涉及到的非定常流动都具有周期性特征。比如绕直升机旋翼的非定常流动和涡轮机叶片绕流等。在传统周期性非定常流动的计算方法中，时间项均采用时域差分法(BackwardDifferenceFormat，BDF)，为保证计算精确性，一个周期往往被分为几十个时刻点

4、并且要经过若干周期才能得到收敛的周期性非定常解。因此BDF在解决周期性非定常流动问题上计算效率偏低，没有利用流动的周期性特征。对于周期性非定常流动，Hall和Crawley[1]提出了一种线化频域快速计算方法。在该方法中，时域流场变量分解为时均量与非定常一阶谐波项。其计算效率很高，但只局限于非定常性较弱和非线性较低的非定常计算中。1998年Ning和He[23提出了一种非线性计算方法，不同之处在于其通过额外的应力建立时均部分与非定常项之间的关系，通过这种方法能够求解某些比较复杂和变化剧烈的非定常流动，但该方

5、法仍然无法求解非简谐周期性流动。随后Hall等[31提出了基于傅里叶展开的谐波平衡法。该方法不直接求解流场变量的谐波系数，其在时域内通过谱算子将方程进行时间方向的离散。Hall等将该方法成功应用于模拟压气机叶栅绕流。McMullen等[4与]发展了一种主要在频域里求解流动控制方程的非线性频域方法。该方法与谐波平衡法的思想一致只是构造方法有所不同且成功应用到模拟圆柱涡脱落运动和模拟翼型强迫俯仰振荡等问题。但该方法需要在每步迭代中计算守恒变量和残值的傅里叶变换与逆变换。类似的还有Dai等[6]提出的时间配置法。

6、Gopinath等[7蜘推导了收稿日期：2016—10—27；退修日期：2016—12—04；录用日期：2016—12—21：网络出版时间：2016—12．2615：17网络出版地址：WWW．cnki．net／kcms／detail／111929．V．201612261517．004html基金项目：国家自然科学基金优秀青年基金(11622220)；高等学校创新引智计划(B17037)*通讯作者．E-mail：aeroelastic@nwpu．educn}

7、用格式：贡伊魏。胡战合。朗溢浪．等．时阃谱方法中的

8、高效GMRES算法!Jj，航空学报．2017．38(7)：120894．GONGYM．L

9、uZH．uUYL．etaliEfficientGMRESalgorithmintimespectralmethod(JJ．ActaAeronauticaetAstronauticaSinica．2017。38(7)：120894．120894．1航空学报离散时间导数谱算子的显式公式并进一步提出时间谱方法(TimeSpectralMethod，TSM)。该方法利用流动周期性特征，通过傅里叶变换与逆变换将时间导数项通过其他

10、所有时刻点的插值进行离散，从而将非定常问题中各时刻的顺序排列求解转化为多个时刻耦合的定常求解问题。TSM在工程中得到广泛应用，并取得了很好的实际效果，如直升机旋翼问题[9]、涡轮机叶片绕流[1叼以及涡脱落[11]问题。国内对TSM研究相对较少，比较典型的是杨小权等[12]应用基于隐式LU—SGS(Lower-UpperSymmetricGauss-Seidel)迭代的TSM模拟俯仰翼型和机翼的强迫运动问题，谢立军