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1、GMRES方法在含动边界流场中的应用11任登凤谭俊杰张军(南京理工大学动力工程学院，南京210094)摘要以基于格心的有限体枳法为基础，空间二阶将度，采用4R解基于ALE形式的Euler方程，网格单元边界处守恒最通量的计算呆里绕流及运动圆球绕流等问题进行数值模拟，取得了较好的结果.GM：贵内存的弱点，达到了计算耗时短和占用内存少的统一.关键词非结构网格，动网格，Runge-Kutta方法，GMRES近年来，很•多文献对基于非结构网格的定常流动的数值模拟进行了研究，并且取得了很大的进步.显式方法中用得比较多的就是Runge-Kutta方法，这种方法常被用来求
2、得稳定状态的解⑴，对于任何显式方法，时间步长被CFL数条件严格限制，所以时间步长通常取得很小.显式方法通常需要的内存较少，容易矢量化，并行化.然而，对于复杂问题，显式方法收敛速度急剧下降，导致求解效率低下.为了加速收敛，通常采用多重网格方法⑵或者是隐式时间离散方法求解⑶.对非定常流场进行数值模拟时，当时间尺度和空间尺度相比很小时，如果用显式方法来求得稳定解，需要的计算时间会很长.对于含动边界的非定常流场，当物体的运动速度很慢，或者物体振动的频率较低时，如果采用显式方法，时间步长将会受到严格的限制，这会大大增加计算的时间.实际上，网格移动所允许的时间步长比数
3、值稳定性要求下的时间步长要大得多，所以有必要釆用一种隐式的方法，其时间步长仅仅由流动的物理性质决定而不受数值稳定性的限制.本文采用了一种基于非结构网格的快速、无需存储雅可比矩阵的隐式方法来求解可压缩基于ALE形式的Euler方程，网格单元边界处守恒量通量的计算采用了Hanel方法，高阶精度的构造可参考文献⑷，在毎一个时间步采用了拟时间推进的方法来求解.本文对4阶Runge-Kutta,GMRES(GeneralMinimizeResidualalgorithm,称为广义极小残余方法)方法在非结构动网格上的应用进行研究，对振动的NACA0012翼型绕流等动边
4、界问题进行了数值模2004-11-30收到第1稿，2005-05-17收到修改稿.1)国家自然科学基金(10476011)项目资助.拟，取得了较好的结果.1控制方程及数值处理方法对于一个运动的控制体，非定常可压缩基于ALE(arbitrarylagrangianeulerian)描述形式的Euler方程可以采用如下的稅分形式表示页/UdV+/FdA=0(1)式(1)中，V是运动的控制体体积，3U是它的边界，守恒型变量U和无黏矢通量F定义如式(2)所示fp}（（Un一Uw）p（un-Uw）pu+pnxu=,F=（Un-Uw）pvpny⑵pw（«n一Uw）p
5、w^pnzkpE丿（un-uw）pE+puw丿其中，p,p,E分别表示流体密度、压强、比总内能，u,v,w分别表示流体的3个速度分量，n表示运动边界0卩的单位外法线方向，血,勺,芯是几的3个分量，网格在外法线方向运动速度分量用uw表示.当uw=0时，对应于守恒型Euler方程，而uw=un时，对应于守恒型Lagrange方程.u„,uw的定义如式(3),式⑷所示un=unx+vny+wnz(3)uw=xtnx+ytny+ztnz(4)式⑷中,xt,ytizt分别表示网格速度龙在©,y,z方向的分量.状态方程2GMRES隐式方法GMRES方法冋是求解代数方
6、程组的一种新的算法.这种隐式方法无需存储矩阵，能够在非结构网格上快速求解可压缩的Euler方程.本文中采用了下面的近似通量函数凡=$2扌［F(S,“巧)+F(L7j，m)_iI扁1(心-5川如
7、⑹将方程(6)线性化，可得翥三扣(5,7)+I&I叽I⑺器三扣(5，“)-
8、扁
9、口如
10、(8)式(6)~式(8)中、J=dF/dU,表示通量的雅可比矩阵；尺表示残值；入表示雅可比矩阵的谱半径，4表示控制面的面积；7表示单位矩阵.如果存储雅可比矩阵，将需要很大的内存，能够达到总需求内存量的93%.为了避免存储上.下三角阵，将雅可比矩阵和矢量增量的积用通量的增加量来代替.
11、文献［3］指出：这种方法由Men'shov和Nakamura提出并用于结构网格，Sharov和Nakahashi⑹将这种方法推广到非结构网格.采用GMRES方法，只需要存储矩阵矢最的积，矩阵矢量的积可以通过有限差分的方法进行近似JSU«AF=F(U+M)-F(U)(9)采用GMRES方法求解方程的主要过程如下⑶:For/=1,mdom重新开始迭代vq=R—A^Uq初始残值Fo：=Pfo预处理步0：=Ikolh初始残值范数Vi：=rQ/p定义初始KrylovForj=1,kdo内部迭代yj：=Avj矩阵矢量积Wj:=P~xyj预处理步Fort=1,Jdoh
12、i,j：='=Wj-hitjViEndDo:Vj+l：=EndDo
