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《例說多元最值問題的解法探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例說多元最值問題的解法探究所謂多元最值問題，指的是含有兩個或兩個以上變元的式子的最值求法問題。因為所求最值的式子中含有多個變元，所以學生往往懼怕處理這類問題。而因為這類問題可以考察學生的知識理解和各方面能力掌握的情況，所以又是出題者比較青睞的一類問題。為瞭解決這一矛盾，筆者結合自己的教學實踐給出瞭解決多元最值問題的幾種方法。希望能給廣大學生帶來點幫助。口1利用基本不等式基本不等式a+b2Dab(a,b>0)能夠求得最值。而且基本不等式本身是多元的式子，這為解決多元最值問題提供瞭一種思路例仁(2006年重慶理科第
2、10題)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23,則2a+b+c的最小值為口()□A3-1B3+1C23+2D23-2解析：a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)n(a+b+a+c2)n2=(2a+b+c)n24因為a,b,c,所以2a+b+cC23-2故選D點評：在高考中，用基本不等式的思想解決多元最值問題，既考察瞭學生對基本不等式的掌握程度，又考察瞭學生對多個字母的整體把握能力。口2消元通過消元把字母的個數變少，然後利用基本不等式或函數的單調性以達到解決問題的目的例2:（2008年江蘇第"題
3、）設x,y,z為正實數，滿足x-2y+3z=0,則yL12xz的最小值是解析:由x-2y+3z=0得y=x+3z2,所以y□2xz=x□2-9z□2-6xz4xz□6xz+6xz4xz=3故yD2xz的最小值為3.點評：本題首先利用題幹條件把變元減少，然後利用基本不等式進行解決。有的題目可以利用題幹條件把多個變元減少到一個，這時也就可以利用函數值域的求法進行求最值瞭。口3換元對於含有多元變量的式子，如果我們要能用一個字母來進行代換，使得式子的變元減少，這樣就降低瞭題目的解決難度。使得學生就有從下手，從而解決問題
4、例3:（2005年重慶文科）若xD2+yn2=4,則x-y的最大值是解析:由題意可設x=2cos0,y=2sin0則x-y=2cos0-2sin0=22sin（Tr4-0）-1□sin（Tr4-e）LM/.x-y的最大值為22點評：本題可以采用三角換元，也可以利用數形結合的思想解決。口4變換主元例4(2007年遼寧第21題改編)已知f(x)=xQ3-9xn2+24x,若對於任意的mw[-26,6],恒有f(x)nxD3-mx-11成立，試求實數x的取值范圍解析:已知f(x)=xn3-9xD2+24x對任意的m
5、e[-26,6]恒有0^+(・9乂口2+24乂+")口0一般情況下，不等式左邊是關於m的一次函數，記為g(m),則對於任意的化[26,6],g(m)Q0的充要條件為g(-26)O0且g(6)O0由g(-26)=-26x+(-9xD2+24x+11)n0,解得-119Dxni;由g(6)=6x+(-9x□2+24x+11)00,解得-13Qxni13故的取值范圍為-13,1點評：含參數問題通常含有兩個或兩個以上變元，習慣上把看成是自變量的思維定勢會把問題變得相當復雜，這時利用變換主元的思想，將與角色換位，問題便迎
6、刃而解。口5數形結合有時利用已知條件的幾何意義，也可以利用數形結合的思想求得多元最值例5:已知x,y滿足xD216+yn225ni，求y・3x的最值解析：令z=y-3x,變形為y=3x+zo則它表示斜率為3的平行直線系方程，z是直線在y軸上的截距。由圖易知在區域xn216+yC225ni內，的最大值、最小值在直線與橢圓相切取得將y=3x+z代入xn216+yD225=1得169xD2+96zx+16zD2-400=0由A=(96z)□2-4x169x(16z□2-400)=0得z=±13故所求y-3x的最大值為
7、13,最小值為-13點評：線性規劃可以求得多元目標函數的最值，這也是高考每年都涉及的知識點。此題可以看作是線性規劃的延伸。口6判別式法根據已知條件構造多元方程，然後利用方程的判別式求得多元最值例6:設x,y為實數，且xD2+xy+yn2=3,求xD2-xy+yD2的最值解析：由已知xD2+xy+yn2=3①設xD2-xy+yn2=k②由①、②可得xD2+yn2=k+32,xLJ2yEl2二kE!2・6k+94所以xQ2,yn2是關於t的方程tn2-k+32t+kD2-6k+94=0的兩個根所以△=(k+32)D
8、2・6kL!2-6k+9D0即kD2-10k+9n0解得1DkD9故xD2-xy+yD2的最小值為1,最大值為9.點評：觀察已知條件所給兩個代數式的結構特點，設xn2-xy+yD2=k,則易得出xD2+yD2與xD2yD2的等式，把xD2,yn2看作某一方程的兩個根，則代數式的最值問題轉化為方程是否有解的問題，問題容易解決多瞭
