一种基于共轭方程法求解黏性反问题的简化方法

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1、航空学报ActaAeronauticaetAstronauticaSinicaApt．252012Vol33No．4597—606ISSN1000—6893CN11．1929／VMtp：#hkxb．buaa．(3du．cnhkxb@buaa．edu．cn文章编号：1000—6893(2012)04—0597一10一种基于共轭方程法求解黏性反问题的简化方法杜磊，宁方飞’北京航空航天大学能源与动力工程学院，北京100191擒要：对于给定压力分布的黏性气动反问题，考虑到壁面微小扰动造成的压力变化主要由势流作用引起，因此可以简化用以获得目标函数对设计变量敏感性导数的共轭方程。将

2、黏性流场插值到粗网格中作为彻体力模型方程的解，则其相应的共轭方程将以简单的源项取代原方程中复杂的黏性项。由于在粗网格中求解。网格数减少，同时收敛速度加快，简化的共轭方程计算时间可以减少到黏性方程的十分之一。典型的算例结果表明，对于附着的边界层流动简化方法计算得到的敏感性导数具有较高的精度，能够有效完成反问题设计且减少总的计算耗时。美键词：黏性流动；彻体力模型；共轭方程；反问题设计；敏感性导数^中图分类号：V211．3文献标识码：A反问题设计作为一种重要的气动设计方法，可以解决给定壁面物理量分布求解其相应几何形状的问题。给定的物理量可以是马赫数[1]、速度‘21、压力‘3

3、。53或者负荷分布∽3等不同形式，因而存在多种不同的反问题求解方法，其中以偏微分方程系统控制理论为基础的共轭方程法(AEM)获得了广泛的应用。该方法将给定的目标压力和计算压力之间的差值作为目标函数，通过求解一次流场和一次与流场计算相当的共轭方程即可获得所有设计变量的敏感性导数，再由梯度类优化算法求得目标函数最小值，实现反问题的求解。与传统的单独扰动每个设计变量然后再求解相应流场来获得敏感性导数的有限差分法(FDM)相比，共轭方程法的最大优势在于获得梯度所需的流场计算量与设计变量个数无关，特别适合解决多设计变量复杂几何外型的气动反问题设计。共轭方程存在连续型和离散型两种形

4、式，前者根据连续的流动方程得到，然后离散求解，后者可直接由离散的流动方程推出。20世纪90年代Jameson[8]最先提出了基于连续型共轭方程的气动设计方法，随后将该方法应用到翼型的无黏和有黏反问题设计以及三维机体的无黏反问题设计中[9。“。同时离散型方法也得到了相应的发展，主要由Tayler[”]和Eleshakycl3]等做出了大量的研究工作。Nadarajah等[1们对这两种技术途径进行了分析比较，结果表明只要加以很小限制两者均可以获得精度相当的敏感性导数。早期该方法主要被用来解决外流的气动设计问题，后来被拓展到压气机和涡轮等内流流动，包括带有掺混面的多级情况[1

5、¨引。国内也开展了共轭方程法用于气动设计的相关研究[1纠”。Jameson推导黏性流动的连续型共轭方程时假定几何微小变化并不会引起黏性系数(分子黏性和湍流黏性之和)的变化，并将其视为常数[2“，只考虑平均流方程，这样可以简化共轭方程的推收稿日期：2011-06-21；退修日期：2011-09-23；录用日期：2011-10·14；网络出版时闻：2011．10．3110：58网络出版地址：vzr”／wcnkjnet／kcms／detaiUll．1929．V．201{1031．1058006．html∞I：CNKi：1I-1929／V．20111031．1058．006*通

6、讯作者．Tel．1010-82338753E·mail：啡j．nlng@buaa．edu．G11鳓厝格武lDuL。NingFFAnapproximatemethodforviscousinverse出sig．ba刚Or／adjointequationsActaAeronauUcaetAstronaut／caSinica．2012-33(4)；597-606．杜磊。宁杰飞．一种基于共轭方程法求解黏性反问是的衡他者法．航空学摄．2012．33(4)l597-606．航空学报Apr．252012V01．33No．4导过程同时减少了共轭方程数，但缺点是降低了计算得到的敏感性导数

7、的精度(标准共轭方程法)。Zymaris等[2u摒弃涡黏性为常数的假定。将湍流模型方程和平均流方程视为整体，推导完整流动控制方程所对应的共轭方程(完全共轭方程法)。该方法并不限于特定的湍流模型，起初考察了使用Spalart-Allmaras模型流动的完全共轭方程．最近将其推广到使用壁面函数的h两方程模型情形∞引。结果表明完全共轭方程法计算得到的敏感性导数精度优于标准共轭方程法。但其代价亦明显。首先是共轭方程的形式更加复杂，注意到Zymaris选择的都是不可压缩流控制方程．对于可压缩流动将更加繁杂，其次共轭方程数量的增多自然也增加了求解的计