矩阵论文-共轭梯度法求解维纳霍夫方程

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1、矩阵论文-共轭梯度法求解维纳霍夫方程.doc共轭梯度算法在自适应信号处理中的应用一、背景介绍在一般的信号处理中，接收机收到的信号除了有用信号之外，还有干扰源产生的杂波以及噪声。在信号检测理论中介绍到，为了从干扰中提取有用信息，通常需要先将接收机收到的初始信号通过匹配滤波器，从而获得较大的信干噪比。在滤波时，同时需要考虑使均方误差最小。下面首先以维纳滤波器为例，阐述矩阵理论在信号处理中的应用，推导最优滤波器的冲激响应函数的基本形式。随后介绍基于krylov子空间的共轭梯度算法求解方程Ax?b的步骤以及收敛速度的分析，最后使用MAT

2、LAB仿真共轭梯度算法。1.1横向滤波器结构考虑如图1.1所示的有M个权系数（抽头）的有限冲激响应（FIR）横向滤波器，输入信号u(n)是随机过程（实际过程中每一次处理的输入是随机过程的一个样本函数），不难发现，滤波器n时刻的输出不仅与n时刻的输入信号有关，在n时刻，输入信号为u(n)，横向滤波器输出信号为d(n)???i*u(n?i)i?0^M?1写成向量形式，有d(n)?wHu(n)?uT(n)w*其中，滤波器权向量w和第n时刻的输入信号向量u(n)分别为w???0^?1?M-1?u(n-M+1)?^TTu(n)??u(n)

3、u(n-1)在图1.1中，信号d(n)称为期望响应，滤波器的输出d(n)经常被称为期望响^应d(n)的估计。定义估计误差e(n)为e(n)?d(n)?d(n)在自适应信号处理中，通过对横向滤波器权向量w的设计，使滤波器的输出在某种意义下尽量逼近期望响应d(n)，或使估计误差e(n)在某种意义下最小。1.2维纳滤波原理假定横向滤波器的输入和期望响应均为广义平稳过程，且二阶统计特性已知，根据最小均方误差准则求得最优滤波器参数。e(n)?d(n)?wHu(n)?d(n)?uT(n)w*定义估计误差e(n)的平均功率为J(w)?Ee(n

4、)?2??E?e(n)e(n)?*也称J(w)为估计的均方误差或代价函数，将e(n)的表达式代入上式，有HT*???J(w)?E?d(n)?wu(n)d(n)?u(n)w??????*?*HH?Ed(n)2??E?d(n)u(n)?w?wE?u(n)d(n)??wE?u(n)u(n)?wHH假设期望响应d(n)的均值为0，则式子第一项期望响应的平均功率也是方差，令2?d?Ed(n)?2?定义互相关向量p为??E?u(n)d*(n)????p(0)?*?p(?1)???Eu(n?1)d(n)???p?E?u(n)d*(n)????

5、?????????p(?M?1)?*????E?u(n?M?1)d(n)???其中，p(-m)为输入u(n-m)与期望响应d(n)的互相关函数，为p(?m)?E?u(n?m)d*(n)?记输入信号向量u(n)的自相关矩阵为R，则r(1)r(M?1)??r(0)?r(?1)?r(0)r(M?2)?R?E?u(n)uH(n)???????r(?M?1)r(0)??其中，自相关函数r(i-k)的定义为r(i?k)?E?u(n?k)u*(n?i)?利用的定义式，均分误差方程式可以表示为2J(w)??d?pHw-wHp?wHRw1.3维纳

6、-霍夫方程根据矩阵理论，如果多元函数J(w)在点w??w0w1wM?1?处存在偏导T*数可以表示为?J/?wi，那么J(w)在点w处取得极值的必要条件是?J/?wi*?0,i?0,1,M?1（称点w为函数J(w)的驻点）。利用标量函数关于向量的微分运算，可以用标量函数关于向量的梯度来表示函数关于多个自变量的偏导数。??J(w)?2*?J(w)???2p?2Rw?wi令?J(w)?0，有Rw0?p上式即为著名的维纳-霍夫方程。由于R几乎总是非奇异的，用R?1左乘方程式两边，得w0?R?1p要使均方误差J(w)最小，滤波器权向量w应

7、当满足Rw0?p，此时的权向量称为最优权向量，记为w0。求解最优权向量的问题归结为求解方程Ax?b的问题。若矩阵A阶数较高，求解A?1不易实现，需要利用矩阵的理论来简化计算量。二、共轭梯度算法2.1应用分析由背景介绍可知，数字信号处理中权向量的求解总可以归结为求解线性方程组Ax?b，若采用一般的算法，收敛速度较慢，计算量很大。另一方面，在实际非均匀环境下，由于杂波和干扰的空时非均匀性，合格（即满足独立、同分布条件）的训练数据的无从获得或能够获得的数据量太少。此外，由于杂波和干扰的非平稳性，杂波和干扰协方差阵的各元素均为随时间变化

8、的随机过程，因而无法通过经典方法获得其有效估计。基于krylov子空间的共轭梯度算法能够在较小的迭代次数内实现收敛从而使运算量大大降低，并且所需的训练数据较少，能够解决多通道信号检测的问题。共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息