部分专题三第二讲数列的综合应用

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1、数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前n项和的问题是数列中的中低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前n项和的性质即可正确得出结果.除此以外，数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容，数列是一种特殊的函数，它能与很多知识进行综合，如方程、函数、不等式、数学归纳法(理)等为主要综合对象，概率、向量、解析几何等为点缀.数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于中高档难度问题.1．(2010·山东高考)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而

2、不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：设数列{an}的公比为q，因为a1＜a2，且a1＞0，所以有a1＜a1q，解得q＞1，所以数列{an}是递增数列；反之，若数列{an}是递增数列，则公比q＞1且a1＞0，所以a1＜a1q，即a1＜a2，所以“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件．答案：C3．(2010·全国新课标)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．(2)分组求和．(3)裂项求和．(4)错位相减法求和(近几年考查频率相当

3、高)．数列是特殊的函数，等差、等比数列更是如此，因此，求解数列问题应依据题意，注意沟通数列与函数之间的内在联系，运用函数的思想方法求解往往使解法方便快捷．[思路点拨](1)通过分析an的正负确定Sn何时取最大值．(2)题用错位相减法求和．[自主解答](1)∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，又∵f′(x)＝－2x＋7，得a＝－1，b＝7，所以f(x)＝－x2＋7x.又因为点Pn(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝f(x)的图象上，所以有Sn＝－n2＋7n，当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，∴

4、an＝－2n＋8(n∈N*)．令an＝－2n＋8≥0，得n≤4，∴当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.数列与不等式的综合问题是近年来的热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，通常是由基本的等差数列、等比数列等基本数列进行复合、变形后得到的新数列的和．对于这种问题，在解答时需要我们抓住本质，进行合理地变形、求和，最后进行放缩，从而得出结论．[思路点拨](1)题用x1与x2表示出点M的纵坐标．(2)题用倒序相加法求和．(3)题转化成函数最值问题，借助基本不等式(均值不等式)求解．现实生活中涉及到银行利率、分期付款、企业股金、产品利润、人口增长、

5、工作效率等实际问题，常常考虑用数列知识加以解决．能够把实际问题转化成数列问题，并且能够明确是等差数列还是等比数列，确定首项，公差(比)，项数各是什么，能分清是某一项还是某些项的性质是解决问题的关键．其思路框架如下表：一般步骤：①审题；②建立数学模型；③求解；④检验．(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；(2)试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%？(1.15＝1.61051.16＝1.77161.17＝1.9487)该题给出的两个数列很明确，一个等差数列，一个等比数列，学生很容易推出Pn的关系，如何求解Pn>20%，可能会

6、遇到麻烦．(9分)(12分)[解法心得]解答本题的关键是建立目标函数f(n)，从而利用研究函数单调性的方法研究数列的单调性，求出f(n)的最小值，结合不等式恒成立，进一步用函数与方程思想分析突破．因此，函数不仅可以解决方程、不等式的问题，也可以解决数列的问题，而极端原理的应用也尤为重要．点击此图片进入专题训练