基于最小二乘法的几何元素拟合算法研究

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1、基于最小二乘法的几何元素拟合算法研究ResearchandImplementationofGeometricElementFittingAlgorithmBasedonLeast-Squares北京航空航天大学机械工程及自动化学院杜福洲王小强段桂江【摘要】误差评定是零件检测环节中的重要检验项目之一，几何元素拟合是基于坐标测量法评定误差的核心内容。在对常见几何元素分析研究的基础之上，构建了其参数化数学模型，基于最小二乘法提出其拟合算法的整体框架，对具体的算法进行了研究并给出了优化算法初始值的计算过程，基于MATLAB平台对拟合算法进行了实现，并将其拟合结果与N

2、IST的结果进行比较分析，结果验证了该算法的可行性。关键词：误差评定最dr--乘法几何元素拟合算法『ABSTRACTlErrorevaluationisoneoftheimpor-tanttestsintheprocessofpartinspection．Geometricfit-tingisthecorecontentintheerrorevaluationbasedonthecoordinatemeasuring．Basedontheanalysisofthecom—mougeometricelements，theparameterizedmathema

3、ticmodelofgeometricelementsisconstructedandtheflameofthefittingalgorithmsisproposed．Meanwhilethedetailoffittingalgorithmsandtheinitialvalueoftheoptimiza-tionalgorithmsareillustrated．ThenalgorithmsarecarriedoutontheMATLABplatforn'landthefittingresultsarecomparedwiththeresultsofNIST．

4、Thecomparisionshowsthatthefittingalgorithmsarefeasible．Keywords：ErrorevaluationLeastsquaresmeth-odGeometricelementFittingalgorithm在生产制造过程中，经过加工的零件，不仅会产生尺寸误差，而且会产生形位误差，这些误差的存在对零件的性能及装配质量会产生重要的影响，因此必须将其控制在一定的范围内。坐标测虽法由于其通用性强、精度高等特点，目前被广泛应用于零件的误差检测中。坐标测最法中涉及几何元素的实际形状和几何元素理想形状的获取，实际形状一

5、般用实测点云数据代替，而理想形状往往是不可直接获得的，一般用点云数据基于一定规则拟合而成的元素代替，因此元素拟合是误差评定的核心内容。几何元素的拟合方法有最小区域法、最dx--乘法和与具体元素相关的其他方法，比如圆的拟合有最小外接圆法、最大内切圆法等。其中，最小二乘法由于其理论相对比较成熟，工程应用简单易行，因此在一些精度要求不是很高的情况下，其具有一定的可行性，有关研究表明，按最小二乘法评定的形位误差大于实际误差的1．14倍[tl。本文在对误差评定时常见的几何元素：圆、圆柱面和球面分析研究基础上，构建其参数模型，基于最小二乘法对其拟合算法进行了研究，并在M

6、ATALAB平台下对算法进行了实现，最后以NIST(NationalInstituteofStandardsandTechnology)提供的标准测试数据集对算法进行了验证和比较，其拟合结果与NIST提供的拟合结果的误差在1×l旷内，证明了算法的可行性。1几何元素的参数化建模几何元素的拟合过程就是求解其特征参数的过程，对于某一元素可以采用不同的参数模型来描述。因此，在元素拟合时应该构建一个合适的参数模型，它是元素拟合算法的前提和基础。对于常见的几何元素：圆、圆柱面和球面，构建其参数模型如下：(1)圆。圆可以用圆心的空间位置以及圆的半径来描述，同时还应该给出圆

7、所在的平面，其参数模型可以表示为：circle(X，Y，z，a，b，C，，．)，其中，向量if(X,y，z)表示圆心的空间位置，向量攻以b，c)表示圆所在平面法向量的方向余弦，r表示圆的半径。(2)圆柱面。圆柱面可以用轴线的位姿以及圆柱面的半径来描述，其中轴线的位姿又可以用轴线上一点及轴线的方向向量来描述，因此，其参数模型可以表示为：cylinder(X，J，，Z，a，b，C，，．)，其中，向量声(工，Y，z)表示圆柱面轴线上一点，向量芦(玩b，c)表示圆柱面轴线方向向量的方向余弦，，．表示圆柱面的半径。(3)球面。球面可以用球心的空间位置以及球的半径来描述

8、，其参数模型可以表示为：sphere(工，Y，z，a