最优控制复习题

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1、最优控制理论与系统课后习题解答December27,2013第二章习题习题2-5x(0)=1，x(1)=2，求x(t)使ZtfJ=(1+_x2)dtt0取极值解：两端固定无约束泛函极值问题，应用欧拉方程。@Ld@d=2_x=2•x=0@xdt@x_dtx_=c1;x=c1t+c2代入终端条件x(0)=1)c2=1x(1)=2)c1+1=2)c1=1则极值轨迹x(t)=t+1课后习题解答最优控制理论与系统December27,20132/33第二章习题习题2-6x(1)=4，x(tf)=4，tf自由且tf>1。求x(t)使Ztf1J=[2x

2、(t)+x_2(t)]dt12取极小值解：这时始端固定，末端受约束的泛函极值问题，F=2x(t)+1x_2(t)，x(t)=c(t)=4。由欧拉方程2ff@Ld@d=2x_(t)=2x•(t)=0@xdt@x_dtx_(t)=2t+c;x(t)=t2+ct+c112由x(1)=4得1+c1+c2=4)c1+c2=3(A-1)由x(tf)=4得t2+ct+c=4(A-2)f1f2课后习题解答最优控制理论与系统December27,20133/33第二章习题由起点固定，末端受约束的横截条件T@L12L+(_cx_)=2xx_=0(A-3)@

3、x_2tf(A-1)代入(A-2)，t2+ctc1=0)t21+c(t1)=0f1f1f1ft21fc1==(tf+1)(A-4)tf1由(A-3)得：21282tf2c1tfc1=0(A-5)2(A-4)代入(A-5)得21282tf+2(tf+1)tf(tf+1)=02课后习题解答最优控制理论与系统December27,20134/33第二章习题化简得t22t15=0ff解得tf=5;3，因tf>1舍去3将tf代入(A-4)c1=6，c1代入(A-1)得c2=9最优极值轨线x(t)=t26t+9(A-6)根

4、据第二个勒让德条件@2Ld@2L@2L=0;=1>0@x2dt@x@x_@x_2可知(A-6)的极值轨线使泛函取极小值。且有泛函极值Zt5f464J=[4(t26t+9)]dt=(t3)3=3311课后习题解答最优控制理论与系统December27,20135/33第三章习题习题3-3设一阶系统方程x_(t)=u(t);x(0)=1;x(tf)=0试求最优控制u(t)，使性能指标Zt1fJ=2t+u2(t)dtf20极小。设tf自由。解：此问题属于定常系统、积分型性能指标，tf自由和末端固定的最优控制问题。性能指标可写为如下形式：Zt1fJ=

5、[4+u2(t)]dt20课后习题解答最优控制理论与系统December27,20136/33第三章习题令哈密顿函数12H=2+u(t)+(t)u(t)21222=[u(t)+2(t)u(t)+(t)(t)+4]2122=f[u(t)+(t)](t)+4g:2使H取极小的最优控制U(t)=(t)。由协态方程@H_(t)==0)(t)=c1:@x由状态方程x_(t)=u(t)=c1)x(t)=tc1+c2:因为x(0)=1，故c2=1。1x(t)=1tc1)x(tf)=1tfc1=0)tf=:c1课后习题解答最优控制

6、理论与系统December27,20137/33第三章习题因为122H(tf)=0=2+c1c1)c1=2;2c=2与t=1不符，所以c=2。所以有最优控制1fc11u(t)=2;最优状态x(t)=12t;t=0:5;f以及J=2:课后习题解答最优控制理论与系统December27,20138/33第三章习题习题3-8设一阶系统x_(t)=u(t)x(t);x(0)=2控制约束为u(t)1。试确定最优控制u(t)，使性能指标Z1J=[2x(t)u(t)]dt0为极小值。解：本题为定常系统，积分型性能指标，tf固定，x(t

7、f)自由的最优控制问题。取哈密顿函数H=L+f=2x(t)u(t)+(t)[u(t)x(t)]=[(t)1]u(t)+[2(t)]x(t)课后习题解答最优控制理论与系统December27,20139/33第三章习题因此有8>><1;(t)1>0u(t)=:不确定;(t)1=0>>:1;(t)1<0由协态方程@H_(t)==2(t)@x解得(t)=cet+2由tf固定、末端自由的边界条件有2(tf)=(1)=ce+2=0)c=e因此有(t)=2et1+2课后习题解答最优控制理论与系统Decembe

8、r27,201310/33第三章习题由(t)1=0=12et1，解得t0:3069因此有8>><