三角函数的高阶导数表

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1、西南科技大学5高教研究62005年第4期(总第77期)*三角函数的高阶导数表李晓妮(西南科技大学生命科学与工程学院)众所周知,在三角函数中,正弦函数和余弦函数的高阶导数有简明的计算公式(见文献1或2)。本文将进一步给出cotx和cscx的高阶导数表的制表方法。一、cotx的高阶导数本节将讨论函数cotx的高阶导数,为此我们定义一个对多项式的运算D,满足:2(A)Dc=0,Dx=1-x,其中c为常数;(B)对任意的两个多项式f(x),g(x),有i:D[f(x)+g(x)]=D[f(x),g(x)],ii:D[f(x)#g(x)]=g(x)#D[f(

2、x)]+f(x)#D[g(x)]。22342例如,D(x)=D(x#x)=2x#Dx=-2x(1+x);D(3x)=-15x(1+x)。若对x连续施行D运算,则2Dx=-1-x;223Dx=-D(1+x)=2X+2!X;3324Dx=-D(2x+2!x)=-2-8x-3!x;4235Dx=-D(2+8x+2!x)=16x+40x+4!x;,,下面我们求cotx的几个高阶导数,希望能找到一定的规律。22cotcx=-cscx=-1-cotx,223cotdx=-(1+cotx)c=2cotx(1+cotx)=2cotx+2!cotx,324cotÊx

3、=(2cotx+2!cotx)c=-2-8cotx-3!cotx,(4)2435cotx=-(2+8cotx+3!cotx)c=16cotx+40cotx+4!cotx,,,从上述四式可归纳得出:cotx的n阶导数是cotx的一个n+1次多项式。且若我们把cotx整体视为一个未定元,则求cotx的n阶导数即相当于对多项式x施行n次的D运算,*西南科技大学教改项目基金资助,项目号:210-042040。54nn(n)即Dx。从而由Dx的递推公式可得cotx的递推公式。由等式nn23nn+1Dx=(-1)(an,0+an,1x+an,2x+an,3x+

4、,+an,nx+an,n+1x,在其两端求D运算,得n+1n+12222Dx=(-1){an,1(1+x)+2an,2x(1+x)+3an,3x(1+x)+,n-12n2+nan,nx(1+x)+(n+1)an,n+1x(1+x)},n+123=(-1){an,1+2an,2x+(an,1+3an,3)x+(2an,2+4an,4)x+,nn+1n+2+((n-1)an,n-1+(n+1)an,n+1x+nan,nx+(n+1)an,n+1x}n+123n+1n+2=(-1)(an+1,0+an+1,1x+an+1,2x+an+1,3x+,+an+

5、1,n+1x+an+1,n+2x),从而得递推关系式:an+1,k=-[(k-1)an,k-1+(k+1)an,k+1],k=0,1,2,,,n+1;n+1an+1,n+2=-(n+1)an,n+1=(-1)(n+1)!.(1)其中约定:an,-1=an,n+2=0,n=1,2,3,,。(n)(1)式也是求cotx的递推公式。根据(1)式,我们可编出cotx的高阶导数公式表。编表的方法如下:首先,给出下表(表1)。表的第一行是cotx的方幂,从左往右cotx的方幂从0由低到高;表的第一列是cotx的高阶导数的阶数,从上往下cotx的高阶导数的阶数从

6、1由低到高。然后,我们往表里填数。因表11cotxcot234为cotx的奇数阶导数为偶函数,即只xcotxcotx,含cotx的偶次幂,从而当cotx的高阶12导数的阶数为奇数时,表中cotx的奇3次幂对应的空白填0;相反地处理当,cotx的高阶导数的阶数为偶数的情(n)n+1nn+2形。若我们要填第n行,即求cotx,则第n行cotx所在空白填(-1)n!,而自cotx及之后的空白全为0。最后,填表还遵循下述方法:首先填第一行,如下表2:表22341cotxcotxcotxcotx,1-10-1!201+1!02!3-(1+1!)0-[(1+1

7、!)+3!]0-3!,k然后,记第l行中cotx(k

8、xcotx1-10-120202!=23-20-80-3!=-6401604004!=245-160-1360-2400-