探析三角函数的最值1

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1、探析三角函数的最值求三角函数的最值和值域是近几年高考的常考内容，又是三角函数解答题的主要题型,解决这类问题不仅要用到三角函数的定义域和值域、单调性、图像以及三角函数的恒等变形,还常常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。这些问题概念性强，具有一定的综合性和灵活性。题型lo利用有关三角公式化简求最值。例1>(2003北京理)若f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4xo⑴求f(x)的最小正周期。(2)若xG(0,—),求f(x)的最大值，最小值。2解：f(x)二cos°x・2sinxcosx・sir?x二(cos'x

2、+sinS<)(cos2x-sin'xAsin2x=cos2x-sin2x=V2cos(2x+f),所以f(x)的最小正周期T=—=^o(2)因为0WxW兰，所以兰W2x+^W迴。'444cos⑵+彳)取得最大值琴⑵+彳)取得最小值-1。最大值为1,最小值为-血。当2x+円时,cos所以f(x)在(0,刍)2点评：充分利用三角的有关公式将所给函数进行化简，转化为熟悉的止余玄函数。变式训练：1、求函数f(x)=sin2x+4sinxcosx+5cos2x的最值。2、(2004全国)函数f(x)二(sin4x+cos4x+sin2xcos

3、2x)/(2-sin2x)的最值。答案：1、f(x)的最大值为2迈,最小值为2、f(x)的最大值为扌,最小值吗题型2。利用公式asinx+4bcosx=y/ci2+/?2sin(x+0)来求最值。1/?例2.已知函数f(x)=—cos2x+—sinxcosx+1,xgR求当取最大值时，自变量X的集合？该函数图像可由f(x)=丄COS2X+3经过怎样的变换得到?解：f(x)=—cos2x+—sin2x+—=—sin(2x+—)+—444264所以f(x)的最大值坍,这时2X+彳誇+25,唏+sX的集合为{x

4、x二?+k龙}1气TT177

5、S由f(x)=—cos2x+—向右平移一个单位得f(x)=—sin(2x+—)+—246264题型3。利用配方法或换元法把三角函数的最值转化为二次函数的最值。(注意区分有限制条件和无限制条件两种类型以及隐含条件的挖掘)例3、已矢I【函数f(x)二2sin&cos&+sin&-cos&(0W。求函数Y的最值解：令t=sin^-cos^=V2sin(^-—)z因为,所以tG[-1,41],444贝ij12=l-2sinxcosx2sinxcosx二1-t?f(x)=l-t2+t=-(t--)2+-,24当t二丄时，f(x)的最大值为丄，2

6、4当t二1时，f(x)的最小值为J点评：此题在代换中，根据角0的取值范围确定了参数IW[-1,V2]的范围，从而正确求解。若忽视这一点，会发牛t二丄时有最大值而无最小值的错误结论。2变式训练：3、设——,求函数f(x)=4sin2x-12sinx-1的最值.63答案:f(x)的最大值为6f(x)的最小值为・9(OWxW?)的最大值为1,求a的值.251-广2’5a例4:设函数f(x)=sin2x+acosx+-a-—8253解：f(x)=sin2x+acosx+—a-—=-cos2x+acosx+—a-—82令t=COSX，则tG[0

7、,1]2utf(x)=-t2+at+—a-—=-(t~—)2+(+—a-—)822482分情况讨论：⑴当a〈0时，f(x)的最大值为1,a无解(2)当0〈a〈2吋，f(x)的最大值为1,a=-2⑶当a>2时，f(x)的最大值为1,a无解・综上所述：a=-2点评:换元之后,将三角函数转化为二次函数(动函数)在一定区间上的最值问题;注意要分类讨论。题型4、与平面向量、三角形相结合求最值。例5、(2006全国文)三角形ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+2cos±取得最大值,并求最大值。2解：由A+B+C二龙,付=———

8、所以cos二sin—22222cosA+2coscosA+2sin牛l_2si時+2sin厂2sin—21、2石)当sin—=丄时，即A二兰时，cosA+2cos"+°取得最大值3。22322点评:重要考察三角函数的化简，求值及运算能力，应注意内角的取值范围.例6.已矢口向量°二(cos—,sin竺)，向量&二(cos—,一sin兰)且xg[0,—22222若f(x)二找-切汕的最小值为弓求2的值。解：f(x)二a

9、二cos2x—4Acosxxe[0,-]2=2cos2x~4Acosx~1=2(cosx-A)~-2玄-1cosxg[0

10、,1]分情况讨论：当2V0时，Q无解。当0V2V1时,2=-2当久>1时，2无解。综上所述：2二丄2点评：重要考察向量的运算，进而转化成三角函数的化简，注意三角函数的公式运用和分情况讨论。、、一二-一变式训练：4、设向量