线段和差最值探析

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1、诗数外字线段和差最值探析江苏苏州振华中学沈华芬·．线段的和差最值问题是最近几年中考的一个热点，承．抛物线的解析式：y=2++3。担着区分学生能力差异、分层选拔人才的功能。最值问题(2)连接BC，直线BC与直线f的交点为P；因其问法多样化、条件隐含化、解法多元化，学生往往不易设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(3，0)，C(O，3)代发现问题的本质，难以找到有效的解题方法，故教师在教入上式，得：学时要结合题意，借助相关的概念、图形的性质将最值问f3k-IJ，解得：fk=-题化归与转化为相应的数学模型(线段公

2、理、垂线段最短、【b=3【6=3·三角形三边关系等)进行分析与突破，应注重分析条件与．．直线BC的函数关系式y=+3；结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而当x=l时，y=2，即P的坐标(1，2)。启发学生的思维，让他们解题时总有“似曾相识”之感，快关联题二：应用于圆中。速准确地找到解法。(2013·日照)问题背景：如图2，已知，630的直径CD模型一：理论依据：两点之间，线段最短。用途：求两条为4，点A在630上，CD=30。，B为弧AD的中点，P为线段和的最小值。直径CD上一动点，则BP+A

3、P的最小值为关联题一：应用于二次函数中。分析：(1)找点A或点曰关于CD的对称点，再连接其(2012·扬州)如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A中一点的对称点和另一点，和CD的交点P就是所求作的(一1，0)、B(3，0)、C(O，3)三点，直线z是抛物线的对称轴。位置。根据题意先求出CAE，再根据勾股定理求出AE，(1)求抛物线的函数关系式；即可得出PA+PB的最小值；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△C的周长解答：解：(1)作点B关于CD的对称点，连接A交最小时，求点P的坐标；CD于点P此时PA

4、+PB最小，且等于AE。Jl5作直径AC，连接CE。4根据垂径定理得弧BD=弧DE。’’．』4CD=30。．C‘A．．A0／)=60。．DOE=30。．‘．．AOE=90。．一2＼4一‘一2．．CAE=45。．图1图2又AC为圆的直径．LAEC=90。．C=CAE=分析：(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析45。．c，E=AE：—V-2_c，：2、／式中求出待定系数即可。(2)由图知：A、曰点关于抛物线的对称轴对称，那么根即AP+BP的最小值是2、／据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接评

5、析：关联题一、关联题二涉及两个定点一个动点，属BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。于求“定——动——定”型折线最小值问题，源于课本“在解答：(1)将A(一1，0)、8(3，0)、C(0，3)代入抛物线=直线上找一点，使其到直线同侧两点距离和最短”，只是通f口一b+c=0fI2=一1过将问题背景改为抛物线或圆来考查学生的化归能力，解Ij似+bx+c中，得：{9a+3b+c=O，解得：{b=2决本题的关键是作出已知点关于直线的对称点，然后利用l／c=3Ic=3线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短，并

6、借助圆心62·解题秘笈·2014年第7期角和圆周角的关系，构造直角三角形运用勾股定理计算最则△A雎=1xlOx20=lO0小值来解决问题。隐蔽地应用课本知识的试题常会在中考由对称知识，尉C=C=／ECA．中出现，用来检查学生灵活应用知识的能力，这类问题通所以EA=EC，令EA，则EC=x，肋=20一，过改变题型背景等非关键因素以加深问题的难度。在RtAADE中，EA=肋+AD．模型二：理论依据：垂线段最短。用途：求两条线段和所以=(20)+102．的最小值所以2；-12．5，关联题j三：应用于三角形因为Js嬲

7、=1EA·BH，BH=16(09陕西省)如图3，在锐角AABC中，AB=4、／，C=45。，ABAC的角平分线交BC与D，、Ⅳ分别是PO+PB的值最小为16AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是评析：关联题三、关联题四涉及两个动点一个定点，分析：由于角平分线所在直线是角的对称轴，所以点属于求“定——动——动”型折线最小值问题，由于两个Ⅳ关于AD的对称点一定在AC上，因此本题可以转化为动点在定点的同侧，因此应根据“垂线段最短”这一性质在AD上找一点，在AC上找一点Ⅳ，使BM+MN的值进行解题。最小。不管在什

8、么背景图中，有关线段之和的最短问题，常解答：因为AD是C的角平分线，所以点Ⅳ关于化归与转化为线段公理“两点之间，线段最短”或“垂线段AD的对称点Ⅳ一定在AC上，由垂线段最短可知BN-L最短”。而化归与转化的方法大都是借助于“轴对称点”。Ac时线段BN因此当点在直线BN上时，BM+MN，即模型三：理论根据：三角形两边之差小于第三边。用B到AC的距离。由于AB·sin45：4、／×单：4．所以途：求两条