数列专题讲义——不定方程的几种解题策略

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1、数列存在性问题探究1分式类型双变量存在性设等差数列a｝的前n项和为S”,且％+如=34,53=9.（1）求数列｛陽｝的通项公式及前〃项和公式；（2）设数列｛仇｝的通项公式为b户化，问：是否存在正整数t,使得勺，优，bmn（加》3,meN）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.练习一探究2：设｛线｝是公差不为零的等差数列，S”为其前77项和，且22・ci^+ci^—ci^+ci^9S?=7•（1）求数列｛色｝的通项公式及前72项和S“；（2）试求所有的正整数加，使得软沁为数列｛色｝屮的项.°加+2探究2双变量指数类型存在

2、性问题一一缩范围已知数列&｝中，琦1,前刀项和为S,且S产从①；4).(1)求昂;(2)证明数列｛/｝为等差数列，并写出其通项公式；(3)设lg亿二竽，试问是否存在正整数P，g(其中Wo)，使乩加,人成等比数列?若存在，求出所有满足条件的数组(°,Q)；若不存在，说明理由.2变式：已知数列仏｝,曲｝满足°严3,atlbn=2,"a,仇-士二),hgN(1)求证：数列｛右｝是等差数列，并求数列｛$｝的通项公式；(2)设数列｛c“｝满足c”=2色-5,对于任意给定的正整数卩，是否存在正整数q,r(/?<^

3、存在，试用p表示g,r；若不存在，说勺5cr明理由.探究3三变量有理性的存在性问题等差数列｛色｝的前n项和为S〃，6z,=1+V2,§=9+3血.(1)求数列｛色｝的通项色与前〃项和Sn；(2)设^=^(heN*),求证：数列｛$｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列.n探究4三变量利用奇偶性解决存在性问题已知数列｛%｝满足：q一，/，+1一”，<0(h>1)?数列｛$｝满足:21一色1一％14=爲-才(空1)・(1)求数列｛色｝,｛$｝的通项公式;(2)证明：数列｛$｝中的任意三项不可能成等差数列.探究5指数型三变量存在性问题一一放缩+

4、控范围II7在数列｛色｝中，已知^=-,%=址-£,hgN设S“为｛〜｝的前几项和.(1)求证：数列｛3"色｝是等差数列；(2)求S”；(3)是否存在正整数p,q,r(p

5、

6、,解得Q]=—5,d=2，所以｛陽｝的通项公式为an=2n-7,前n项和Sfl=n2-6n.⑵込=（2—屯中-5）,若其是｛｝中的项，则（2肌辺加一5）=2“_7,%22m-32m-3令l=2m—3,则处曲二a_4）"_2）=£_6=2/z_7,色+2（（Q即：2n=t+-+所以/为8的约数.因为/是奇数，所以/可取的值为±1,t当/=1,即m=2时，/?=5；当/=—1,即加=1时，h=—4（舍去）.【探究2】（1）令沪1,则a=s=g；q）=o.⑵由$”=也严，即S,严号，①得S”+严⑺+异•②%1一（D，得⑺-1）a”+i=叫•③

7、于是，叫+2=5+1）°”+1・④%1+④，得叫+2+叫=2叫+「即an+2+an=2an^.又曰尸0,型二1,创一曰尸1,所以，数列｛切是以0为首项，1为公差的等差数列.所以，af）=n—1.（3）解法1：假设存在正整数数组S，q）,使b,加,%成等比数列，则1也，lg0”lg%成等差数列，于是，器=*+卷・八2时，攀U一糾导〈0,故数列｛器｝（p>2）为递减数列，卷3时，（”翳）_（*+》）=券〈0,故数列｛*+寻｝（空3）为递减数列，（等）max=£'（*+黑）™«=£'即P=2&=3时，器=£+寺又当八3时，=故无正整数q使得Y

8、=3+y成立.解法2：同上有，警=*+梟〉芥且数列｛警｝(/?>2)为递减数列,dJdJd当p=2时,成立;当八3时,=因此，由得，p=2,此时厂33"3变式解析：【解答】解：(1)・.・An