函数定义域的探究

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1、函数定义域探究河南省宜阳县实验屮学李清霞函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要索之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维能力是非常必要的。一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须耍考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：例某单位计划建筑一矩形围墙，现冇材料可筑墙的总长度为100m,求矩形的面积S与

2、矩形长x的函数关系式？解：设矩形的长为x米，贝IJ宽为(50-x)米，由题意得：S=x(50一%)故函数关系式为：S=x(50-x).如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量无的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量无取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量兀的范围：0

3、学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。二、函数最值与定义域函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最人(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。女m例2：求函数y=x2-2x-3在［一2,5］上的最值.解：・.・y=x2-2兀_3=(兀2_2x+l)_4=(兀_1)2_4・・・当兀=1时，儿nin=~4初看结论，本题似乎没冇最大值，只冇最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学

4、生思维缺乏灵活性。其实以上结论只是对二次函数y=o?+加+c(q〉o)在R上适用，而在指定的定义域区间［〃,g］上，它的最值应分如下情况：0)当一欽"时’归⑴在［"上单调递增函数心mHz(叽―⑷;h(2)当-—>q时，j=f(x)在［p,q］上单调递减函数/(x)max=/(P)JWmin=/(9)；2a⑶当p5Wq时，y=/(%)在［“,g］上最值情况是:2a4ac-b2""4af(x)mM=max{f(p)9f(q)}.即最大值是/*(p)J⑷中最大的一个值。故本题还要继续做下去:I-2<1<5・・./(-2)=(-2)2-

5、2x(-2)-3=-3/(5)=52-2x5-3=12・・・f(x)mM=max{/(-2),/(5)}=f(5)=12・・.函数）,》2_2兀_3在［一2,5］上的最小值是一4,最大值是12.这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。三、函数值域与定义域函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域吋，应注意函数定义域。如：例3：求函数〉，=4兀-5+丿2兀-3的值域.错解：令f二J2兀一3,

6、贝IJ2兀二八+3I77・•・y=2（/2+3）_5+f=2八+f+l=2（f+—尸+->-488故所求的函数值域是［-,+oo）.8剖析：经换元后，应有r>0,而函数y=2尸+（+1在［0,+8）上是增函数，所以当=0时,ymin=l.故所求的函数值域是［1,+8）・以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题戸后，检验已经得到的结果，善于找岀和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。四、函数

7、单调性与定义域函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：例4：指出函数/（x）=log2（x2+2兀）的单调区间.解：先求定义域:•・•x2+2x>0・・・函数定义域为(-00,-2)U(0,+oo).令U=x2+2x,知在Xg(-00,-2)上时，u为减函数，在X€(0,4-00)上时，U为增函数。又・・・/(X)=log2〃在［(),+00)是增函数.・・・函数/(x)=log2(x2+2兀)在(-卩-2)上是减函数，在(0,+8)上是增

8、函数。即函数/(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,+oo)，单调递减区间是(-00,-2)o如果在做题吋，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没冇理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会