本科数学专业精典完整论文

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1、分类号_0141.3编号2012010201题目构造辅助函数的几种基本方法学院姓名朱小鹏专业数学与应用数学学号281010201研究类型基础研究指导教师裴瑞昌提交日期2012年5月25日原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名:论文指导教师签名：构造辅助函数的几种基本方法朱小鹏(天水师范

2、学院数学与统计学院甘肃天水741000)摘要本文首先列举出了构造辅助函数的几种较常见的方法，然后重点介绍了微分方程法与积分因子法构造辅助函数的过程•通过比较说明用常微分方程屮的方法构造辅助函数的可取性和重要性，相对来说，这是一种具有一定规律可循，可解决更为一般的命题的方法.关键词常微分方程;原函数;辅助函数分类号0141.3SeveralBasicMethodsofConstructingAuxiliaryFunctionZHUXiaopeng(SchoolofMathematicsandStatistics,Tianshui

3、NormalUniversity,Tianshui,Gansu741000)AbstractThispaperlistsseveralcommonmethodofconstructingauxiliaryfunctionatthefirs匸Andthenfocusesontheprocessofthedifferentialequationmethodandtheintegralfactormethodofconstructingauxiliaryfunctions.Bycomparison,usingthemethodofo

4、rdinarydifferentialequationsexplainedthedesirabilityandimportanceofconstructedtheauxiliaryfunction.Relativelyspeaking,ithassomecertainrulestofollow,andtosolvemoregeneralpropositions.KeyWordsordinarydifferentialequation;originalfunction;auxiliaryfunction引言11常见的几种构造辅助

5、函数的方法11.1利用凑原函数的方法来构造辅助函数11・2利用几何方法构造辅助函数21.2.1罗尔中值定理21.2.2拉格朗日中值定理31.3利用常数值法构造辅助函数42利用微分方程屮的方法构造辅助函数52.1用微分方程法构造辅助函数52.1.1知识预备52.1.2原理72.2用积分因子法构造辅助函数92.2.1知识预备92.2.2原理103结论11参考文献11致谢12构造辅助函数的几种基本方法引言我们知道，辅助函数的构造方法多种多样,遇到问题时一•般应具体问题具体分析•构造一个合理的辅助函数，能架起一座连接条件和结论的桥梁，

6、使问题变难为易•但通常却没有一种较为一般的方法可循.我在常微分方程的学习过程中发现利用微分方程法和用积分因子法求解一阶线性微分方程的一些方法往往可以用來构造辅助函数.如/(x)+/'(x)=0,f(兀)+g(x)/(兀)=0,等形式，通常都能解决•而且用常微分方程中的方法经常能够解决一些结构较复朵，难以化成变量分离或者常数部分分离，需要通过求解微分方程得到原函数的题1=1・1常见的几种构造辅助函数的方法1.1利用凑原函数的方法来构造辅助函数微分中值定理在积分学中的地位十分重要，它研究函数导数的中值特征，在利用微分中值定理(特别

7、是罗尔定理)求解介值或者零点问题时，证明的结论往往是某一函数的导函数的零点，故可由不定积分求其原函数作为辅助函数.若要证拉格朗H定理的结论，只需证明观察可知f有一个原函数，以兀)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x,乂(p(a)=(p(b)=bf(a)-af(b)，此时(p(x)在[a.b]上满足罗尔定理•故0(g)=0,即因此沢兀)可作为证明拉格朗口眾理的辅助函数.由原函数构造辅助函数的一般步骤是1•将结论屮的$(或儿)换成兀；2.通过恒等变形，使其成为容易的积分；2.用观察法或凑微分法求出一个原函数；3.移项，使

8、得等式的一端为0,那么另一端即为所求的辅助函数.例1设/⑴在S问上连续，在仏b)上可导，OvGVb,证明:存在弘仏b)使得a证明将要证明的结论屮的歹换成兀，变为［/0)-/(«)］--ln--/(x)=O可以看出其xb左边的一个原函数为［/(/?)-/(6Z)］InX-In-