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《专题研究：数列的求和_例题解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题研究：数列的求和•例题解析【例1】求下列数列的前n项和Sn：1111(1)1亍2-,3-,…，(n+—),・・12+3?n，1•■14''2n-1121212⑵尹尹，尹尹臣+予，…，(3)1,1+],1+2+丄，…，1+；+]+・・・+22424s1111解(l)Sn=l-4-2-+3-4--+(n+—)1111=(1+2+3n)+(-+-+-+…+—)n(n+1)22n2n(n+1)12n121212n332333432n_I32n111222=(§+尹+…+^T)+(尹+歹+…+药)11213
2、(i-莎)尹(i-莎)—尹51飞(1-莎)(3)先对通项求和11%十尹厂…+Q11_F11——=2—n-12"-1・・・Sn=(2+2+…+2)-(1+出+・・・+£),111=2n-(l+2+4+-+2n.1)=2n-2+2〕i【例2】求和：1111(1)+++…+'丿1•22•33•4n(n+l)1111(1)+++…+1-53•75•9(2n-l)(2n+3)1111(2)+++■■■+v2•55-88-11(3n-l)(3n+2)解⑴nn+1111n(n+l)1=1-——n+1n=771ij_
3、]]⑵(2n-l)(2n+3)二4(2n-l_2n+3).1111111n4l537592n-3111+]2n+12n-12n+311114l32n+l2n+3n(4n+5)=3(2n+l)(2n+3)1j_]_1_⑶(3n-l)(3n+2)二3(3n-l_3n+2)111111111125588113n-13n+21113V23n+27n6n+4【例3】求下面数列的前n项和:1+1,丄+4,-4+7,aa~戸+(3n—2)’…分析将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以丄为公比的等a比数列，另一个数
4、组成以3n-2为通项的等差数列，分别求和后再合并.解设数列的通项为知，前n项和为S"W'Jan=Jzr+(3n-2)a・•・Sn=(l+丄+g+…+書)+[l+4+7+・・・+(3n—2)]aaa[l+(3n-2)]•n3n2+n=nH=—11一了(l+3n-2)nan-1(3n-l)n当aHl时，Snan-an_,h^—一+a说明等比数列的求和问题，分q=l与qHl两种情况讨论.【例4】设ak=l2+22+-+k2(keN*),a33则数列一,%…的前n项Z和是6nA.—-B.n+13nnTTC6(
5、n-l)nD.n+23解设数列仝,ain.2n+Ian则叽二又・.・an=l2+22+-+n2=-n(n+l)(2n+l)6611•■b==6(~—)nn(n+l)nn+T数列｛bj的前n项和Sn=bi+b2bn1111111=6[(1+-++)]13n23nn+1=6(1-—*--)n+16n皿=—选(A)・n+1【例5】求在区间[a,b](b>a,a,b^N)上分母是3的不可约分数Z和.Qot1O33罟，罟它是以解法一区间[a,b]上分母为3的所有分数是寸，3a+43a+5,3b-2—；—，—;—
6、，a+2,…，b—1,一-一，333专为首项，以§为公差的等差数列.1项数为3b-3a+l,其和S=
7、(3b-3a+l)(a+b)其中，可约分数是a,a+1,a+2,…，b其和V=
8、(b-a+l)(a+b)故不可约分数之和为s—s’=
9、(a+b)l(3b-3a+l)-(b-a+l)J"2-a?3b-23b-l3*3解法二・・・$二¥+¥+¥+芋2333124521・•・S=(a+3)+(a+3)+@+3)+@+3)(b~3)+(b—3)12452而又有s=(b-3)+(b-3)+(b-3)+(b—3)
10、+・・・+(a+3)+(a+；)两式相加：2S=(a+b)+(a+b)H(a+b)其个数为以3为分母的分数个数减去对约分数个数.即3(b—a)+1—(b—a+l)=2(b—a)・•・2S=2(b-a)(a+b)・・.S=b2-a2【例6]求下列数列的前n项和Sn：(1旭，2a?,3a^,…,na11,…，(aHO、1)；(2)1,4,9,…，nN••••⑶1，3x,5x〈…，(2n-l)xn_1,…，(xHl)123n⑷3••'4'8''2“'•解(l)Sn=a+2a2+3a3+・・・+nan・・•a
11、HOaSn=a^+2a^+3a^H(n—l)an+nan+^Sn—aSn=a+a^+a^Han_nan+l・・•aH1A(l-a)Sn=^^-na1-an+la(l-a")na曲(1—a)-1—a(2)Sn=l+4+9+・・・+i?(a+l)3—a?=3a2+3a+1・•・23-l3=3Xl2+3Xl+l43-33=3X32+3X3+l异―(n—lp=3(n—l)^+3(n_1)+1(n+l)3-n3=3n2+3n+l把上列儿个等式的左右两边分别相加，得
