数列的求和法以及例题

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1、数列求和的基本方法与技巧福州三中金山校区林继枫（350008）数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧。一、利用常用求和公式求和（定义法）利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5．例1求和：解：1、当x=0时，2、当x=1时，3、当x0,且x1时，.例2已知，求。解：由由等比数列求和公式得二、利用数列的通

2、项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前项和，是一个重要的方法。例3求之和。解：由于（找通项及特征）∴5＝（分组求和）＝＝＝例4已知数列：，求的值。解：∵（找通项及特征）（设制分组）（裂项）∴（分组、裂项求和）三、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例5、求和:解:原式===例6求数列的前项和：解：设将其每一项拆开再重新组合得5当时，＝当时，＝例7求数列的前项和。解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得四

3、、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)例8、求和：分析：由==解：原式===5例9求数列的前项和。解：设则＝＝五．错位相减求和法例10、求和：分析：原式等价于其中，象这种通项公式由等差与等比组成的数列，求它的前n项的和联系课本中等比数列前n项和公式的推导过程，可应用错位相减法.解：令例11、求和：解：1、当a=1时，2、当a1时，15六、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一

4、个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例12求证：证明：设…………………………..①把①式右边倒转过来得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴例13求的值。解：设………….①将①式右边反序得……②（反序）又①+②得（反序相加）∴5