浅谈中学数学因式分解的几种方法

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1、浅谈中学数学因式分解的儿种方法浅谈中学数学因式分解的几种方法【摘要】:因式分解是屮学数学重要组成部分，学好它既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以捉高学生综合分析和解决问题的能力。中学教材已经给出了提公因式法、运用公式法以及分组分解法等许多最基本最重要的一些方法，为了更好的帮助学生提高因式分解的认识和应用，我特别地增加了十字相乘法、双十字相乘法、求根公式法、配方法、待定系数法、观察法等方法，突出因式分解的思想及其应用，进一步培养学生从观察一实践一应用的综合能力。我在下笔之前除认真研究中学教材相关知识之外还参阅了《高等数学》《初等数论》以及《数学通报》等书籍。文中提到的

2、各种方法我在教学过程中曾经和学生一起研究、交流过，通过实践发现这些方法对学生们在解决一些有关因式分解的问题中收到了很好的效果，也为他们在对数、式处理方面提供了有力的帮助。关键词：因式分解、方法、应用因式分解是中学数学重要内容之一，对于学生来说也是难点之一，我通过多年教学对因式分解有比较深刻的认识，要学好因式分解，首先必须理解什么是因式分解，如何进行因式分解，因式分解有什么作用等等。那么什么是因式分解呢？因式分解就是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，因式分解也称分解因式。关于这个概念要弄明白三点：1、左边是一个多项式的形式；2、化得的结果必须是乘积形式；3、是整式。例:判断

3、下列式子是否为因式分解：(1)m(a+b)=ma4-mb(2)x'+x+l二x(x+1)+1(3)x+l二x(l+丄)分析：(1)等式的左边是一个乘积式，右边是一个多项式，这正好与因式分解的定义相反，所以不是因式分解。(2)等式的左边是一个多项式，右边也是一个多项式，所以也不是因式分解。(3)等式的左边虽然是一个多项式，右边也是一个乘积式,但它不是整式，所以也不是因式分解。解：由以上分析知(1)(2)(3)都不是因式分解。要想学好因式分解除了理解其定义外还必须掌握因式分解与整式乘法的关系，什么又是整式的乘法呢？整式的乘法就是将几个整式乘积的形式化为多项式的形式，通过比较我们

4、不难发现整式的乘法与因式分解其实是一种互逆运算，例如m(a+b)=ma+mb,从左边到右边是整式的乘法，而从右边到左边是因式分解。如何将一个多项式进行因式分解呢？下面我着重介绍因式分解的几种方法：一、提公因式法在介绍这种方法之前必须理解什么是公因式？如果一个多项式每一项都有相同的因式，那么这个相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是一个数，一个字母，也可以是一个多项式。例如:多项式ma+mb+mc,这个式子每项都含有字母m,因此这个m就是这个式子的公因式。如果一个多项式中含有公因式，将这个公因式提取岀来放在括号的前面从而将一个多项式化为两个整式乘积的形式，这种因式分解

5、的方法叫做提公因式法。例1•把下列多项式因式分解：(1)-8ax+6a<(2)6Fy2+3xy(3)(a~b)2-3(b~a)解：(1)-8ax+6a*2二-(8ax-6ax?)二-2ax(4-3x)(2)6x2y2+3xy=3xy(2xy+l)(3)(a~b)2-3(b-a)=(a~b)2+3(a~b)=(a.-b)(a~b+3)注意：(1)因为首项为负一般先提取负号从而将其化为正。(2)公因式3xy提取之后第二项为1,并不能误认为为0(3)公因式是一个多项式(a-b)提公因式法可以概括为：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1,括号里面分到底。二、运用公

6、式法这里的公式指的平方差、完全平方差、完全平方和、立方差以及立方和公式。(1)平方差a2-b2=(a+b)(a-b)(2)完全平方差a2-2ab+b2=(a-b)2(3)完全平方和a2+2ab+b2=(a+b)2(4)立方差a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)(5)立方和a3-b3=(a~b)(a2+ab+b2)满足什么样的条件用这些公式呢？因此必须掌握这些公式的特征，平方差公式的特征是：(一)只有两项；(二)两项都是平方项；(三)符号相反完全平方公式的特征：(一)有三项；(二)两项是平方项且符号相同，另一项等于这两个数乘积的二倍；(三)若另一项的符号与平方项符号相同

7、则是完全平方和，否则是完全平方差。例1:把多项式#-1进行因式分解分析：屮可以写成(/)2,1可以写成12,所以恰好符合平方差公式。解：屮一1二(/)2_]2二(/+1)(°2_1)二(/+])(a+1)(a-l)注意：1、分解要彻底2、分解要注意数域范围，如果在复数域分解因式，则还可以继续分解即a4-l=(a2+l)(a2-l)二(a+i)(a-i)(a+1)(aT)例2、把下列各式分解因式：(1)9x2~12xy+4y2(2)-a2-6a~9解(1)9x2-12xy+4y2=(3x~2y)2(2)-a2-6a-