线性离散系统的数学描述与Z传递函数分析法

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1、第4章线性离散系统的数学描述及Z传递函数分析法本章主要教学内容1.线性离散系统的数学描述与差分方程的解2.Z传递函数3.离散系统的误差特性4.离散系统的稳定性5.离散系统的动态特性4.1线性离散系统的数学描述与差分方程的解4.1.1线性连续系统与线性离散系统1连续系统输入r(t)，输出y(t).微分方程:2离散系统或3微分方程转化为差分方程离散化—用差分代替微分●一阶导数（微分）（后向差分）二阶微分（导数）●●三阶微分（导数）积分●，T为采样周期4.1.2差分方程的解法1迭代法2古典法3Z变换法仿照连续系统引入拉

2、氏变换，可使求解微分方程的微积分运算变为代数方程进行求解。对离散系统用Z变换求解差分方程，使得求解运算变成了代数运算，简化了计算方法。其步骤如下：（1）对差分方程作Z变换（主要用到平移定理）；（2）利用输出初始条件或求出初值y(0)，y(T)，…代入Z变换式；（3）整理Z变换式求出（4）由利用长除法、部分分式法或留数法作Z反变换，可求出差分方程的解y(kT)。例4.1-1某二阶离散系统的差分方程为，输入为单位阶跃序列初始条件为0，求y(k).【解】Z变换：Z反变换例4.1-2已知差分方程y(k+2)+3y(k+1

3、)+2y(k)=0，初始条件为y(0)=0，y(1)=1，求y(k).【解】Z变换：根据超前定理，上式变为Z反变换：4.2Z传递函数4.2.1Z传递函数的定义Z传递函数也称为脉冲传递函数（pulsetransferFunction），（零初始条件下）若已知R(z)和G(z)，则4.1.2Z传递函数的求法1由差分方程求Z传递函数在零初始条件下，取Z变换系统的特征方程例4.2.1设线性离散系统的Z传递函数为，求差分方程。【解】2积分环节的Z传递函数传递函数输入输出关系y(t)采样后为y(kT),（前向矩形积分）（后向

4、矩形积分）（梯形积分）对上式分别作Z变换，整理后得Z传递函数为！连续系统的积分环节G(s)中的s可以用不同的近似方法代替，即用不同的离散实现，但z=1的极点相同。3由连续系统的传递函数G(s)求G(z)在连续系统中，输入是单位脉冲，输出是单位脉冲响应函数h(t)，则有在离散系统中，按定义有步骤：G(s)→→h(kT)→例4.2-2已知，求G(z)。【解】相当于将采样时间延长了T，根据Z变换的线性定理和滞后定理，通过查表可得4开环串、并联的Z传递函数（1）两个离散环节串联（2）两个连续的串联环节之间有理想采样开关（

5、3）两个串联环节之间没有采样开关n个环节串联：一般地，图4.2-1环节串联（4）环节并联（a）（b）（c）5带有零阶保持器的开环Z传递函数零阶保持器可分解成两个单位阶跃函数之差，传递函数Z传递函数图4.2-3带有零阶保持器的Z传递函数例4.2-3如上图所示，已知，求.【解】6闭环Z传递函数设闭环系统输出信号的Z变换为Y(z)，输入信号的Z变换为R(z)，误差信号的Z变换为E(z)，则定义闭环Z传递函数闭环偏差Z传递函数（1）简单闭环Z传递函数+-（2）复杂闭环Z传递函数（与采样开关的配置有关）a.与之间没有采样开

6、关+-b.与之间有采样开关+-c.与、与之间没有采样开关隔开+-!闭环传递函数求不出来,因中分离不出.4.3用Z传递函数分析线性离散系统的误差特性稳态误差反映了系统的精度及抗干扰能力.引起稳态误差的原因：（1）系统的结构、参数（2）输入信号的形式（3）外来的干扰（4）系统中的各种非确定性因素：如零件参数离散，摩擦，不灵敏在连续系统中，稳态误差的计算方法有两种：（1）用拉氏变换终值定理（2）从系统误差传递函数出发的动态误差系数法由于离散系统没有唯一的典型结构形式，所以误差脉冲传递函数也给不出一般的计算公式，离散系统

7、的稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。4.3.1系统的结构、参数和输入形式与误差的关系+-稳态误差（终值定理）系统的开环Z传递函数可写成系统也分别称为0型，Ⅰ型，Ⅱ型，…系统。1单位阶跃输入时的稳态误差其中当具有一个以上的极点(z=1)时，则（3）若具有2个z=1的极点，则（1）若具有0个z=1的极点，则（2）若具有1个z=1的极点，则2单位速度（斜坡）输入时的稳态误差（3）当具有3个以上极点时，（2）当具有2个极点时，（1）当具有0,1个极点时，3单位加速度输入时的稳态误差三种信号输入时各类系统的稳态误差

8、系统类型输入信号r(kT)=1(kT)r(kT)=kT0型Ⅰ型0Ⅱ型00Ⅲ型0004.3.2扰动作用下的系统稳态误差+-由扰动引起的误差其稳态误差由输入引起的误差由输入和干扰引起的总误差4.4用Z传递函数分析线性离散系统的稳定性●连续线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统系统的特征值具有负实部，即闭环系统的极点均分布在S平面的左半平面。●线性离散系统是否稳定，要看闭环系统