和差公式及倍角公式的运用

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1、和差公式及倍角公式的运用一、和差公式sin(«±0)=sinacos〃±cosasin0,cos(«±0)=cosacos"+sinotsin0,/.小tana土tan"tan©土#)=;1+tancttany?二、倍角公式sin2a=2sinacosa,cos2«=cos2«-sin2a=l-2sin2a=2cos2a-1,r2tanatan2a=1—tun~cc%1.应用类型(题型一)给角求值例1、求sin1OCPsin(-l6CP)+cos20CPcos(-28(f)的值.【解析】原式=-(8s10°sin20°+cos20°sin10°)=-sin30°=或

2、原式=-(sin80°sin20°+cos20°cos80°)=-cos60°=——2例2、计算l-2sin222.5°的结果等于().【解析八2曲22.5。545。p答案：B).例3*已知sina=—,则cos(^-2«)的值为【解析】cos(7r-2«)=-cos2a=-(1-2sin2«)=2sin2a-l=2x—-1=_■-99答案：B例4、已知a为第三象限角，cosa=--,则tan2a=5【解析为第三象限角，cos«=--,/•sina=45•口sina4十是tana==—cosa3/.tan2a=2tanoc1-tan*2a2xt247例5>求sin1

3、0°sin30°sin50°sin70°的值.【解析】法一：利用二倍角公式的变形公式解：Tsin2«=2sinacosa,••sin2a••sina=2cosa原式二連L丄曲0叭血14『2cosl0°22cos50°2cos70°sin20°.1.sin80°.sin40°_12sin80°e2e2sin40°e2sin20°_16法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式解：原式=cos80°•—•cos40°•cos20°=—cos20°cos40°cos80°2212sin20°•cos20()cos40()cos80°_sin40°cos40()cos80°

4、—X22sin20°4sin20°_sin80°cos80°_sinl6QP_11.sin40°2e2sin20°•cos40°cos80°1tsin80Qcos80°~sin20°1.sinl6QP16#sin20°提亦:Tsin2a=2sinacosa，•sin2a••cos«=2sina因此cos20°丄6■sin40°_2sin20°法三：构造对偶式，列方程求解令兀=sin10°sin50°sin70°,y=cosl0°cos50°coslCP.则xy=sin10°cosl0°•sin50°cos50°•sin70°cos70°=丄sin20°•丄sin1

5、00°•丄sin140°222=-sin20°>sin80°.sin40°=-sin80°•sin40°•sin20°88=—cos10°cos50°cos70°=—y88'Ty工0,x=-f从而有sin10°sin30°sin50°sin70°=—・816例6、求下列各式的值(1)•2兀1SIFT；82(2)171tan12-tan7112【解析】(1)原^=l(2sin2

6、-l)=-l(l-2sin2

7、)=--1兀V2z—cos—=8244l-tan2—1-tan2—1(2)原式二=2x=2x」一=2巧・71r兀7Ttan——2tan——tan—12126【题后

8、感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点:(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：也是加的二倍角，°是手2的二倍角，3d是半的二倍角等；2(2)公式逆用：主要形式有2sin«cosa=sin2a、sin«cosa-—sin2a.2•sin2asin2asina=,cosa=2cosa2sin«cos26t-sin2a=cos2

9、求值例1、已知sin（—（0,—―C°s2a一的值454兀4【点拨】求兰-兀的范围=>求cos(—-x)的值n利用cos2x=sin(兰-2x)求值442Ifljsin(—一2x)-2sin(—一x)cos(—一x)；cos(^+x)=sin[—-(—+x)]=sin(—一x)2444244【解析】TgO冷）,••行十（0冷）,依题意，sin(—-%)=-,45・・・cos(jr匸赢丐亘4V454a/6又cos2x=sin(—-2j;)=2sin(—-x)cos(—-x)=2x-x^^~24455cos佇+兀）=血吟一吟+x）］"n吟“）W，4V6・•・原式=琴